Warum pendelt ein Symmetrieoperator mit dem Hamiltonoperator?

Angenommen, ein Symmetrieoperator Ö verlässt den Hamiltonian H unverändert. Aus Büchern weiß ich, dass es den Zusammenhang geben sollte Ö H = H Ö . Aber ich verstehe nicht, warum es das nicht ist H = H Ö seit wann wirkt der Operator auf eine Wellenfunktion, die wir haben H ψ = H ( Ö ψ ) (Die Wirkung des Hamiltonoperators vorher und nachher Ö wirkt auf die Wellenfunktion ist gleich). Kann es jemand erklären?

Bitte erläutern Sie Ihre letzte Aussage: Warum sollte H ψ = H ( Ö ψ ) ?
Die Wirkung des Hamiltonoperators vorher und nachher Ö wirkt auf die Wellenfunktion ist die gleiche.
Ihre Intuition hinter dem Vorschlagen H ψ = H ( Ö ψ ) ist das wenn Ö ist eine Symmetrie, dann sollte sie die Wellenfunktion invariant lassen?
Möglicherweise. Ich weiß nicht.

Antworten (4)

Wenn Ö ist eine Symmetrie und ψ ist dann ein Energieeigenzustand Ö ψ soll auch ein Energieeigenzustand sein (mit gleichem Eigenwert E ).

Mit der von Ihnen vorgeschlagenen Gleichung H Ö = H , wir haben :

H Ö ψ = H ψ = E ψ ≠ E Ö ψ

Andererseits mit H Ö = Ö H , wir haben :

H Ö ψ = Ö H ψ = E Ö ψ
So Ö ψ hat tatsächlich Energie E .

Diese Verwirrung wird wahrscheinlich durch schlampige Sprache verursacht: Die Ö In [ H , Ö ] = H Ö − Ö H = 0 für eine "Symmetrie" Ö ist nicht wirklich die Symmetrie, es ist der Symmetriegenerator (oder "infinitesimale Symmetrie") - der einheitliche Operator mit einem Parameter U Ö ( ϵ ) = e ich Ö ϵ verbunden sein mit Ö via Stones Theorem ist der eigentliche Symmetrieoperator (im Sinne von Wigners Theorem, der besagt, dass alle Symmetrien (anti-)einheitlich sind und Ö ist hermitesch, nicht unitär), für die der Hamiltonoperator "unverändert" ist wie in

U Ö ( ϵ ) H U Ö ( ϵ ) † = H .
Dies ist nun wirklich die Aussage, dass die Symmetrie die Hamilton-Invariante verlässt, und sollte unsere eigentliche Definition dessen sein, was es bedeutet, dass ein Operator eine Symmetrie ist. Diese Gleichung wiederum impliziert für den Generator dies [ H , Ö ] = 0 (z. B. durch Anwendung der BCH-Formel ).

Warum sagst du das Ö in der Frage sollte sich auf den Generator und nicht auf die Symmetrie beziehen? Der Symmetrieoperator selbst ( U in Ihrer Notation) auch erfüllt [ H , U ] = H U − U H = 0 .
@Noiralef Du hast Recht, aber ich betrachte das als "Unfall", nicht so, wie du darüber nachdenken solltest : Auf einer abstrakteren Ebene (dh über Symmetriealgebren und -gruppen nachdenken und nicht als ihre konkreten Realisierungen auf einem Hilbert-Raum), Die Kommutator-/Lie-Klammer ist eine Operation auf der Ebene der Algebra, und die Wirkung von U An H ist die adjungierte Wirkung eines Gruppenelements auf der Algebra ( H ist in der Algebra, weil es selbst ein Generator der Zeitübersetzung ist). Diese adjungierte Aktion wird nur dann zu einem Kommutator, wenn alles als konkrete Matrizen/Operatoren ausgedrückt wird.
Ich verstehe Ihren Punkt, wenn Ö in der Frage sollte der Symmetrieoperator sein, die Beziehung würde normalerweise in der Form ausgedrückt werden Ö H Ö − 1 = H . Nun, jetzt hat OP mehrere Antworten zur Auswahl, je nachdem, was sie eigentlich gemeint haben Ö :-)

Es mag aufschlussreich sein, ein konkretes Beispiel zu betrachten. Lassen Sie uns überlegen L 2 ( R 2 ) , also Wellenfunktionen ψ ( X , j ) im 2D-Raum und dem Hamilton-Operator H = ∂ X 2 + ∂ j 2 . Wir würden erwarten, dass dies unter Drehungen des Koordinatensystems, wie z. B. der 90°-Drehung, symmetrisch ist

( Ö ψ ) ( X , j ) = ψ ( j , − X ) .

Lassen Sie uns auswerten:

  • ( H ψ ) ( X , j ) = ψ 11 ( X , j ) + ψ 22 ( X , j ) (wobei ich Indizes verwende, um die partielle Ableitung in Bezug auf das erste / zweite Argument zu bezeichnen)
  • ( H Ö ψ ) ( X , j ) = ψ 22 ( j , − X ) + ψ 11 ( j , − X )

Diese sind nicht gleich und der Grund dafür ist, dass die beiden Funktionen H ψ Und H Ö ψ in verschiedenen Koordinatensystemen "leben". Also, was wir wirklich vergleichen wollen H Ö ψ zu ist

  • ( Ö H ψ ) ( X , j ) = ψ 11 ( j , − X ) + ψ 22 ( j , − X )

Eine nützliche nächste Übung könnte darin bestehen, zu versuchen und zu sehen, wo es für den Hamilton-Operator schief geht H 2 = ∂ X 2 , die nicht rotationssymmetrisch ist.

Die Verwirrung kann darauf zurückzuführen sein, dass in der klassischen Physik der Hamilton-Operator eine Skalarfunktion des Zustands ist und eine Symmetrietransformation des Zustands den Hamilton-Operator tatsächlich invariant lässt . Allerdings der Quantenoperator H ist keine Skalarfunktion, sondern bildet einen Zustandsvektor auf einen anderen Vektor (im Hilbert-Raum) ab. H bestimmt die Entwicklung der Wellenfunktion über die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

ich ℏ D ψ D T = H ψ .
Angesichts dessen ψ eine Lösung dieser Gleichung ist, sollten wir immer noch eine Lösung haben, wenn wir sie durch die transformierte Wellenfunktion ersetzen Ö ψ jederzeit. Daher,
ich ℏ D ( Ö ψ ) D T = H Ö ψ .
Unter Verwendung der ursprünglichen Gleichung reduziert sich die linke Seite hier auf Ö H ψ . Somit erhält die Symmetrie Lösungen wenn Ö H = H Ö .

Warum pendelt ein Symmetrieoperator mit dem Hamiltonoperator?
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