Beziehung des Bewertungspunkts im Pfadintegral mit Ordnungsmehrdeutigkeiten. Beispiel mit Partikel im Eichfeld

Ich studiere das Lehrbuch von Schulman über die Pfadintegration. In den ersten Kapiteln dieses Buches verwendet er die Lagrange-Form des Pfadintegrals und kommt zu dem Schluss, dass, wenn sich ein Partikel in einem externen Eichfeld bewegt, die Mittelpunktsregel zur Auswertung verwendet werden muss$\vec A (\vec x)$in Pfadintegralen. Ich möchte das mit dem vergleichen, was in Weinberg (Quantenfelder) gemacht wird. Er erklärt dort, dass die Wahl des Bewertungspunkts der Wahl der Reihenfolge der Operatoren im Quantengegenstück der klassischen Funktion entspricht. Ich habe die dort gemachten Schritte befolgt und festgestellt, dass wir Pfadintegrale konstruieren können, die unter Verwendung der Endpunktregel ausgewertet werden, vorausgesetzt, dass wir den klassischen Hamilton-Operator als nehmen

$$H_{eff}= \frac{(\vec p - q \vec A)^2 + iq \vec \nabla A}{2m} + q V (\vec x).$$ Wenn wir die Gaußsche Integration in der Hamilton-Version des Pfadintegrals durchführen, erhalten wir eine Lagrange-Formulierung mit Lagrange $$L_{eff} = \frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2 + q \vec A \cdot \dot{\vec x} - \frac{iq}{2m} \vec{\nabla} \cdot \vec A - q V (\vec x) .$$ Es kann leicht verifiziert werden, dass mit dieser Wahl der gewöhnlichen Lagrange-Pfad-Integralformel, die mit der Sattelpunktmethode angenähert wird, korrekte Ergebnisse in dem Sinne liefert, dass die Wellenfunktion die Shrodinger-Gleichung mit dem richtigen Hamilton-Operator erfüllt. Zunächst scheint alles in Ordnung zu sein, aber eigentlich nicht ganz! Das Problem ist, dass die Aktion mit diesen erhalten wird $L$oder $H$transformiert nicht "wie es sollte" unter Eichtransformationen. Hier scheint etwas Wichtiges verloren gegangen zu sein.

Frage: Kann man Erklärungen bei Weinberg wirklich ernst nehmen? Wie ist die genaue Beziehung zwischen Bewertungspunkt im Pfadintegral und Ordnungsmehrdeutigkeiten in der Quantisierung? Gibt es eine Möglichkeit, die mit dem in Weinberg vorgestellten Verfahren erhaltene Eichkovarianz (mit Endpunktregel) beizubehalten?