Definition von Matrixelementen eines Operators im Pfadintegralformalismus falsch?

Question

Definition von Matrixelementen eines Operators im Pfadintegralformalismus falsch?

Quantenpeitsche

In Dysons Buch "Quantum Field Theory" führt er im Abschnitt über das Aktionsprinzip von Schwinger Feynmans Pfadintegralmethode ein, um Übergangsamplituden zu erhalten:

⟨ ϕ_{2}, T_{2} | ϕ_{1}, T_{1} ⟩ = Σ_{H} N e^{\frac{ich}{ℏ} {ICH}_{H}}

$\langle \phi_2, t_2 | \phi_1, t_1 \rangle = \Sigma_H N e^{\frac{i}{\hbar}I_H}$ H ist ein klassischer Weg von

ϕ (t)

$\phi(t)$ beginnend bei

t_{1}

$t_1$ mit Wert

ϕ_{1}

$\phi_1$ und endet bei

t_{2}

$t_2$ mit Wert

ϕ_{2}

$\phi_2$ . Die Summe geht über alle klassischen Wege, die diesen Anforderungen genügen, und

N

$N$ ist ein Normalisierungsfaktor.

Hier, $\langle \phi_2, t_2 |$ soll ein Eigenzustand des Feldoperators sein $\hat{\phi}(t_2)$ mit Eigenwert $\phi_2$ bei einer raumähnlichen Ebene in der 4-dimensionalen Raumzeit wähle ich der Einfachheit halber die Ebene mit $x^0 = t_2$ , und so schrieb $t_2$ der Einfachheit halber.

Auf die gleiche Weise $| \phi_1, t_1 \rangle$ ist ein Eigenzustand zur Zeit $t_1$ (Durch „eigenstate at $t_1$ ", möchte ich ausdrücken, dass es sich um einen Eigenzustand des Operators at handelt $t_1$ , also ist der Operator $\hat{\phi}(t_1)$ ). Beachten Sie, dass sich der Operator zeitlich ändern kann, $\langle \phi_1, t_1 | \phi_1, t_2 \rangle$ ist nicht unbedingt 1.

Ich nehme an, er arbeitet hier im Heisenberg-Bild, denn wenn er es nicht wäre, müsste es zwischen den beiden Zuständen einen Zeitentwicklungsoperator geben, der anscheinend nicht vorhanden ist.

Danach führt Dyson Matrixelemente als zusätzliche Annahme ein:

⟨ ϕ_{2}, T_{2} | \hat{Ö} (T) | ϕ_{1}, T_{1} ⟩ = Σ_{H} N Ö [ϕ_{H} (T)] e^{\frac{ich}{ℏ} {ICH}_{H}}

$\langle \phi_2, t_2 | \hat{o}(t)|\phi_1, t_1 \rangle = \Sigma_H N O[\phi_H(t)] e^{\frac{i}{\hbar}I_H}$ Wo

O [ϕ_{H} (t)]

$O[\phi_H(t)]$ ist die klassische Observable, bewertet zur Zeit

t

$t$ bei Feldwert

ϕ_{H} (t)

$\phi_H(t)$ .

Meine Frage: Kann ich diese Formel aus der ersten gegebenen Formel ableiten, die sich ausschließlich mit den Übergangsamplituden der Zustände befasst?

Ich habe es versucht, aber ich scheitere immer irgendwann: Ich gehe von Vollständigkeit der Eigenvektoren aus ${ |\phi_i \rangle }$ erweitere das $\mathbb{1}$ Betreiber und legen Sie es ein

\begin{array}{ccl} ⟨ ϕ_{2}, T_{2} | \hat{Ö} (T) | ϕ_{1}, T_{1} ⟩ & = & ⟨ ϕ_{2}, T_{2} | 1 \hat{Ö} (T) 1 | ϕ_{1}, T_{1} ⟩ \\ = & Σ_{ich, J} ⟨ ϕ_{2}, T_{2} | ϕ_{ich}, T ⟩ ⟨ ϕ_{ich}, T | \hat{Ö} (T) | ϕ_{J}, T ⟩ ⟨ ϕ_{J}, T | ϕ_{1}, T_{1} ⟩ \\ = & Σ_{ich, J} ⟨ ϕ_{ich}, T | \hat{Ö} (T) | ϕ_{J}, T ⟩ Σ_{H_{1}} N_{1} e^{\frac{ich}{ℏ} {ICH}_{H_{1}}} Σ_{H_{2}} N_{2} e^{\frac{ich}{ℏ} {ICH}_{H_{2}}} \end{array}

$\begin{array}{ccl} \langle \phi_2, t_2 | \hat{o}(t)|\phi_1, t_1 \rangle & = & \langle \phi_2, t_2 | \mathbb{1} \hat{o}(t) \mathbb{1} |\phi_1, t_1 \rangle \\ & = & \Sigma_{i,j} \langle \phi_2, t_2 |\phi_i, t \rangle \langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_j, t \rangle \langle \phi_j, t |\phi_1, t_1 \rangle \\ & = & \Sigma_{i,j} \langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_j, t \rangle \ \Sigma_{H_1} N_1 e^{\frac{i}{\hbar}I_{H_1}} \Sigma_{H_2} N_2 e^{\frac{i}{\hbar}I_{H_2}} \end{array}$ Hier

H_{1}

$H_1$ ist ein Weg, der zur Zeit beginnt

t_{1}

$t_1$ mit Wert

ϕ_{1}

$\phi_1$ , und endet mit der Zeit

t

$t$ mit Wert

ϕ_{j}

$\phi_j$ , gleiches gilt für

H_{2}

$H_2$ . Wenn

| ϕ_{i} ⟩

${ |\phi_i \rangle }$ wäre eine Menge von Eigenvektoren von Operator

\hat{O}

$\hat{O}$ , ich wäre fertig:

Σ_{ich} ⟨ ϕ_{ich}, T | \hat{Ö} (T) | ϕ_{ich}, T ⟩ Σ_{H_{1}} N_{1} e^{\frac{ich}{ℏ} ({ICH}_{H_{1}} + {ICH}_{H_{2}})} Σ_{H_{2}} N_{2} = Σ_{H} N Ö [ϕ_{H} (T)] e^{\frac{ich}{ℏ} {ICH}_{H}}

$\Sigma_{i} \langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_i, t \rangle \ \Sigma_{H_1} N_1 e^{\frac{i}{\hbar}(I_{H_1}+I_{H_2})} \Sigma_{H_2} N_2 =\Sigma_H N O[\phi_H(t)] e^{\frac{i}{\hbar}I_H}$ Wo ich das benutzt habe

I_{H_{1}} + I_{H_{2}} = I_{H}

$I_{H_1} + I_{H_2} = I_H$ , Wenn

H_{1}

$H_1$ endet am

ϕ_{i}

$\phi_i$ Und

H_{2}

$H_2$ beginnt um

ϕ_{i}

$\phi_i$ , und ich nahm an

⟨ ϕ_{i}, t | \hat{o} (t) | ϕ_{i}, t ⟩ = O [ϕ_{H} (t)]

$\langle \phi_i, t | \hat{o}(t) |\phi_i, t \rangle = O[\phi_H(t)]$ .

Ich kann diese Gleichung jedoch nicht herleiten, um zu gelten, wenn die Zustände keine Eigenvektoren von sind $\hat{O}$ , und damit die Frage.

Antworten (1)

Definition von Matrixelementen eines Operators im Pfadintegralformalismus falsch?

David Bar Mosche · Answer 1

Die Felder $\phi^{\alpha}$ die in Dysons Buch erscheinen, beschreiben kanonische Koordinaten, deren entsprechende Quantenoperatoren per Definition zu gleichen Zeiten pendeln:

[{\hat{ϕ}}^{a} (R_{1}, T), {\hat{ϕ}}^{β} (R_{2}, T)] = 0

$[\hat{\phi}^{\alpha}(r_1, t), \hat{\phi}^{\beta}(r_2, t)] = 0$ Betreiber

\hat{O}

$\hat{O}$ die in der Koordinatenbasis nicht diagonal sind, sollten notwendigerweise Funktionen sowohl der kanonischen Koordinaten als auch der kanonischen Impulse sein:

{\hat{π}}_{α} (r, t)

$\hat{\pi}_{\alpha}(r, t)$

Um Matrixelemente dieser Art von Operatoren zu berechnen, ist es fast unvermeidlich, Phasenraumpfadintegrale zu verwenden, die allgemeiner sind als die Koordinaten von Konfigurationsraumpfadintegralen.

Diese Art von Pfadintegralen ist in der Quantenfeldtheorie nicht sehr beliebt, wo die interessanten Operatoren $\hat{O}$ sind in der Regel Polynome in den Feldvariablen, also diagonal im feldtheoretischen Konfigurationsraum. Außerdem sind in diesem Fall sowohl der Konfigurations- als auch der Phasenraum unendlich dimensional, was das Problem noch schwieriger macht.

In der Quantenmechanik gibt es jedoch eine ziemlich entwickelte Phasenraumpfad-Integrationstheorie. Lassen Sie mich hier die Symbole verwenden $q^{\alpha}$ Und $p^{\beta}$ für die in der Quantenmechanik üblichen kanonischen Koordinaten und Impulse.

Das Problem, das ich ansprechen werde, ist also die Berechnung eines Matrixelements eines Operators, der sowohl von den kanonischen Koordinaten als auch von den kanonischen Impulsen zwischen verschiedenen Zeitkoordinaten-Eigenzuständen abhängt. Dieser Operator ist natürlich nichtdiagonal in der Koordinatenbasis.

Da es viele Quantenoperatoren gibt, die derselben klassischen Funktion im Phasenraum entsprechen, kann die Integration im Allgemeinen nicht durch einfaches Ersetzen der kanonischen Operatoren durch die entsprechenden Funktionen im Phasenraum am Operator durchgeführt werden. Zweitens hängt das Ergebnis von der Diskretisierungsmethode des Pfadintegrals bei der Berechnung des Matrixelements ab.

Es stellt sich heraus, dass die Lösungen beider oben beschriebenen Probleme miteinander verbunden sind, dh es gibt Operatorordnungsschemata und entsprechende Diskretisierungsschemata, für die die Berechnung des Matrixelements mittels des Pfadintegrals korrekt sein wird. Bitte beachten Sie die folgende These von Valtakoski, in der dieses Problem im Detail analysiert wird. Wenn wir beispielsweise die Weyl-Ordnung verwenden und das Pfadintegral an den Mittelpunkten diskretisieren, erhalten wir korrekte Ergebnisse (Tabelle 3.2 in der Diplomarbeit).

Antwort auf Folgefrage

Im Gegenteil, das Ordnungsproblem existiert und ist in der Quantenfeldtheorie viel schwieriger. Ich habe nur festgestellt, dass sich die Leute im Allgemeinen mehr für Matrixelemente von Feldkonfigurationen interessieren. Ich habe es vorgezogen, quantenmechanische Pfadintegrale zu betrachten, da strenge Ergebnisse vorliegen und das Ergebnis des Pfadintegrals mit anderen Methoden wie der kanonischen Quantisierung verglichen werden kann.

Wenn in der Quantenfeldtheorie die Operatoren von den Feldkonfigurationen und ihren Impulsen abhängen, beeinflussen Operatorordnungs- und Diskretisierungsschemata die Ergebnisse; und im Allgemeinen kann das Problem aufgrund der unendlichen Dimensionalität des Phasenraums und auch des Mangels an anderen Quantisierungsmethoden zum Vergleich viel schwieriger sein.

Im gegebenen Beispiel: die Ableitung $\partial_{\mu}\phi$ , die zeitliche Ableitung: $\partial_{0}\phi$ pendelt nicht gleichzeitig mit den Feldkonfigurationen (anders als die räumlichen Ableitungen $\partial_{1,2,3}\phi$ die pendeln). Für Operatoren, die diese Ableitung enthalten, kann man immer noch das Weyl-Ordnungsschema und die Mittelpunktdiskretisierung verwenden, da der Skalarfeld-Phasenraum, obwohl er unendlich dimensional ist, gemäß den Regeln der kanonischen Quantisierung quantisiert werden kann.

Wenn die Theorie Fermionen enthält, dann kommutieren bereits die komplex konjugierten Spinoren nicht gleichzeitig mit den fermionischen Konfigurationen. Hier sind fermionische Operatorordnungs- und fermionische Diskretisierungsregeln erforderlich, um das Pfadintegral korrekt auszuwerten, siehe die Rezension von Bastianelli und van Nieuwenhuizen .

Für Eichfelder ist das Problem sogar noch schwieriger, da ihr Phasenraum aufgrund der Einschränkungen nicht flach ist und ich glaube nicht, dass es überhaupt strenge Ergebnisse über die Ordnung und die Diskretisierung gibt.

Beachten Sie schließlich, dass das naive Ersetzen eines nichtdiagonalen Operators durch ein klassisches Symbol im Pfadintegral fast sicher zu Ergebnissen führt, die nur halbklassisch korrekt sind, da die Reihenfolge Fehler in der Größenordnung von einführt $\hbar$ aufgrund der nicht verschwindenden Kommutatoren.

Ich verstehe nicht ganz, warum es in QFT kein Problem gibt, da in QFT die interessanten Operatoren meistens nicht nur die Feldvariablen enthalten, sondern auch deren "Ableitungen" $\widehat{\partial_\mu \phi}$ . Sind die auch diagonal in der "Feldvariablen-Basis"?
@Quantumwhisp Ich habe Ihrer zusätzlichen Frage eine Antwort im Haupttext hinzugefügt

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Quantenpeitsche

Antworten (1)

David Bar Mosche

Quantenpeitsche

David Bar Mosche

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