Warum kann der pfadintegrale Ansatz unter Operatorordnungsproblemen leiden?

1. Jede Standard-Lehrbuch-Ableitung der Korrespondenz$^1$zwischen

   $$\text{Operator formalism}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Path integral formalism} \tag{1}$$

   ist eine formale Ableitung, die dabei Beiträge verwirft. Dies gilt unabhängig davon, ob wir im Konfigurationsraum (wie in Lit. 2) oder im Phasenraum arbeiten; und ob wir Orts- und Impulszustände, kohärente Zustände oder kohärente Spinzustände verwenden (wie in Lit. 3).

   Die im formalen Pfadintegranden erscheinenden Objekte sind nein$^2$längere nicht kommutative Operatoren, aber kommutativ$^3$Funktionen alias Symbole. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

   Es gibt eine Korrespondenz/Karte dazwischen

   $$\text{Operators}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Functions/Symbols}.\tag{2}$$

   Das Operatorordnungs-/Mehrdeutigkeitsproblem ist darin verborgen, wie diese Entsprechung/Abbildung auszuwählen ist (2).

   Beispiel. Derselbe Betreiber$\frac{\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q}}{2}$wird in das Symbol übersetzt$qp-\frac{ih}{2}$,$qp+\frac{ih}{2}$, oder$qp$, je nachdem, ob wir wählen$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, bzw. Weyl Bestellrezept. Umgekehrt die gleiche Funktion$qp$wird in den Operator übersetzt$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, oder$\frac{\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q}}{2}$, je nachdem, ob wir wählen$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, bzw. Weyl Bestellrezept.

2. Lassen Sie uns hier angeben, wo Näherungen in der Korrespondenz (1) im Fall des (konzeptionell einfacheren) 1D-Phasenraumwegintegrals im Heisenberg-Bild gemacht werden. Die Hauptidee bei der Ableitung des Pfadintegrals besteht darin, Vollständigkeitsbeziehungen einzufügen

   $$\int \!dq ~|q,t \rangle \langle q,t |~=~{\bf 1}, \qquad \text{and} \qquad \int \!dp~ |p,t \rangle \langle p,t |~=~{\bf 1},\tag{3}$$

   von augenblicklich$^4$Eigenzustände zu verschiedenen Zeiten$t$, abwechselnd zwischen Orts- und Impulseinfügungen. Der führende Beitrag führt zu einem formalen Pfadintegral

   $$\langle q_f,t_f|q_i,t_i \rangle~\sim~\int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \!{\cal D}q~{\cal D}p~\exp\left[ \frac{i}{\hbar}S[q,p]\right],\tag{4}$$

   mit formaler Hamilton-Aktion

   $$S[q,p]~=~\int_{t_i}^{t_f}\!dt~\left[ p\dot{q}- H(q,p)\right],\tag{5}$$

   Wo$H(q,p)$bezeichnet das Weyl-Symbol für den Hamilton-Operator$\hat{H}$. Weyl-Ordering-Rezepte sind besser als andere Operatoren-Ordering-Rezepte, aber es ist immer noch eine Annäherung.

   Auerbach in Ref.3 spricht hauptsächlich über das Analogon des$p\dot{q}$Begriff für kohärente Spinzustände und nicht der Hamilton-Term. Erinnern Sie sich zunächst an die$pq$Überlappungsformel

   $$\langle p,t \mid q,t \rangle~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{pq}{i\hbar}\right]. \tag{6}$$

   Siehe auch diese Phys.SE-Antwort.

   Als nächstes haben zwei typische benachbarte Terme im Zeitscheibenverfahren die Form

   $$\begin{align} \langle q_{+},& t+\frac{\epsilon}{2} \mid p,t \rangle \langle p,t \mid q_{-},t- \frac{\epsilon}{2}\rangle \cr ~=~&\langle q_{+},t \mid \exp\left[-\frac{i\epsilon}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid p,t \rangle \langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\epsilon}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid q_{-},t\rangle\cr ~\approx~&\langle q_{+},t \mid p,t \rangle \langle p,t \mid q_{-},t\rangle \exp\left[-\frac{i\epsilon}{\hbar} H\left(\frac{q_{+}+q_{-}}{2},p\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[\frac{i \epsilon}{\hbar}\left(p\frac{q_{+}-q_{-}}{\epsilon} - H\left(\frac{q_{+}+q_{-}}{2},p\right)\right) \right] \cr ~\approx~& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[\frac{i\epsilon}{\hbar}(p\dot{q}-H(q,p)) \right]. \end{align}\tag{7}$$

   Wir betonen, dass bei der Ableitung von Gl. (7) indem zB Unterschiede zwischen verschiedenen Arten von Symbolen (entsprechend verschiedenen Arten von Ordnungsvorschriften) vernachlässigt werden. Im Allgemeinen trifft es nicht zu, dass solche Näherungen (7) in der Grenze des infinitesimal feinen Time Slicing gerechtfertigt sind$\epsilon\to 0^{+}$.

Verweise:

1. F. Bastianelli und P. van Nieuwenhuizen, Pfadintegrale und Anomalien im gekrümmten Raum, 2006.

2. JJ Sakurai, Moderne Quantenmechanik, 1994, Abschnitt 2.5.

3. A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism, 1994, S.102 direkt unter Gl. (10.6).

$^1$Die Operator-Weg-Integral-Korrespondenz (1) ist im Allgemeinen höchst nicht trivial. Beispielsweise unterscheiden sich bei der Quantisierung eines nichtrelativistischen Punktteilchens in einem klassisch gekrümmten Hintergrund die Hamiltonoperatoren auf den beiden Seiten der Korrespondenz (1) durch Krümmungskorrekturen zweiter Ordnung in$\hbar$. Sehen. zB Art.-Nr. 1. Um die Diskussion einfach zu halten, gehen wir in dieser Antwort nicht auf Fragen der Regularisierung/Renormalisierung der Korrespondenz (1) ein.

$^2$Genau genommen sind Zeitableitungen innerhalb des formalen Pfadintegranden eine verbleibende Quelle nicht kommutativer Objekte, da Zeitableitungen zeitlich geordnet verstanden werden sollten, um das zugrunde liegende Zeitscheibenverfahren widerzuspiegeln. Siehe zB diese und diese Phys.SE-Antwort.

$^3$Die standardmäßige punktweise Multiplikation$fg=gf$von Funktionen/Symbolen ist kommutativ. Es gibt auch ein sogenanntes Star-Produkt$f\star g$von Funktionen/Symbolen, die nicht kommutativ ist, da sie die Nicht-Kommutativität der entsprechenden Operatorkomposition widerspiegelt$\hat{f}\circ \hat{g}$. Das Star-Produkt$\star$selbst hängt von der Wahl des Bestellrezepts ab.

$^4$Momentane Eigenzustände werden in Lehrbüchern der Quantenmechanik oft eingeführt, um im einfachsten Fall den Pfad-Integral-Formalismus aus dem Operator-Formalismus abzuleiten, siehe z. 2. Beachten Sie, dass die momentanen Eigenzustände$\mid q,t \rangle$Und$\mid p,t \rangle$sind zeitunabhängige Zustände (wie sie im Heisenberg-Bild sein sollten).