Pfadintegral in QM vs. QFT

Nun, das Pfadintegral ist eine heuristische Konstruktion. Formal identifiziert P&S den Index

$$i ~=~{\bf x}$$ mit einem Punkt im 3-Raum, so dass $$q^i(t)~=~\phi({\bf x},t) \qquad\text{and}\qquad p^i(t)~=~\pi({\bf x},t).$$ Um den Übergang von der Punktmechanik (9.12) zur Feldtheorie (9.14) zu vervollständigen, stellt man sich oft vor, dass 3-Raum und Zeit diskretisiert werden. Dann werden Raumzeitableitungen durch geeignete finite Differenzen ersetzt , und die Wegintegralmaße werden $${\cal D}q ~=~\prod_{i,t} \mathrm{d}q^i(t) \qquad\text{and}\qquad {\cal D}\phi ~=~\prod_{{\bf x},t} \mathrm{d}\phi({\bf x},t).$$

Zu "Meine Frage ist: Was bedeutet 9.14 überhaupt?" Ich werde der obigen Antwort nur eine Fußnote hinzufügen, was in Ordnung ist. Für das QM selbst und wie erwartet unter einigen technischen Annahmen zum Potenzial$V$, gibt es strenge Möglichkeiten, dem Pfadintegral Bedeutung zu verleihen. Schwieriger wird es bei der Beschriftung der Raumzeitpunkte mit$\mathbb{R}^{d - 1} \times \mathbb{R} \cong \mathbb{R}^d$mit$d > 1$(wie Sie es in QFT erwarten würden), wenn man auf Distributionen umsteigen muss.

Einige der klassischen Referenzen sind die von Michael Reed und Barry Simon über die Funktionsanalyse; oder Brian Halls Quantentheorie für Mathematiker (insbesondere Kapitel 20). Noch schärfer für die Pfadintegrale und wie weit man mit dem Ansatz kommen kann, ist der Versuch der konstruktiven Quantenfeldtheorie .

Natürlich dienen die Heuristiken für das Pfadintegral der Praxis gut, ähnlich, dass man sich nicht mit manipulierten Hilbert-Raum verwickeln muss, um den Dirac-Braket-Formalismus zu verwenden.