Über eine rigorose Definition von Feynmans funktionalem Integral...

Die Definition, die Sie in Ihrer Frage verwenden, ist diejenige, die jeder verwendet, der eine rigorose perturbative Renormalisierung durchführt. Die jeweilige Methodenwahl BPHZ vs. Epstein-Glaser etc. spielt keine Rolle. Beide geben Ihnen die renormalisierte$n$-Punkt-Korrelation fungiert in beiden Fällen als formale Potenzreihe$\hbar$(etwas kanonischer) oder die renormierte Kopplungskonstante$g_{\rm R}$. Das Problem ist nun, dass ein Messgerät normalerweise eher numerische Werte als Elemente von zurückgibt$\mathbb{R}[[g]]$. Außerdem müssen Quantenübergangswahrscheinlichkeiten positiv sein. Wie würden Sie Einheitlichkeit für eine QFT ausdrücken, wenn Sie nur formale Potenzreihen haben? Es ist wünschenswert, eine strenge Konstruktion des zu haben$G(x_1,\ldots,x_n)$als ehrliche Verteilungen und nicht als formale Potenzreihen mit Verteilungskoeffizienten. Dies ist die Aufgabe der konstruktiven Quantenfeldtheorie.

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Bearbeiten Sie gemäß dem Kommentar von AFT: Ich glaube nicht, dass es so einfach ist, Positivität für formale Potenzreihen zu definieren, z. B. indem sie Reihenfolge für Reihenfolge auferlegt wird. Obwohl ich sagen sollte, dass ich nicht intensiv über das Problem nachgedacht habe, haben einige möglicherweise bessere Einblicke in die Angelegenheit. Wenn ich mir die formale Potenzreihe ansehe

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\hbar)^n}{n!}\ \in\ \mathbb{R}[[\hbar]]\ ,$$ Ich kann nicht wirklich sagen, dass es positiv ist, es sei denn, ich fasse es zusammen $e^{-\hbar}$. Das ist vielleicht nicht einmal ein gutes Beispiel, da zumindest diese Reihe konvergiert. Es wird erwartet, dass die Störungsreihe in QFT einen Konvergenzradius von Null hat, und der allgemeine Begriff schwankt wild in Vorzeichen und Größe. Ein besseres Beispiel ist nulldimensional $\phi^4$Theorie: $$Z(g)=\int_{\mathbb{R}} e^{-\phi^2-g\phi^4} d\phi$$ was perfekt definiert und nichtnegativ für ist $g\ge 0$. Die entsprechende Serie in $\mathbb{R}[[g]]$ist $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-g)^n}{n!}\int_{\mathbb{R}} \phi^{4n}e^{-\phi^2} d\phi =\sum_{n=0}^{\infty} (-g)^n\ \frac{\Gamma\left(2n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(n+1)}\ .$$ Außerdem, was würde man unter Positivität verstehen? : P1) Positivität für alle Werte des Parameters $g$oder $\hbar$, P2) Positivität für einen bestimmten Wert wie $\hbar=1.05457\times 10^{-34}$, oder P3) Positivität für kleine Werte? Für P1 Auferlegen von Positivität, Reihenfolge für Reihenfolge, z. B. Abschneiden der Reihe an einigen Stellen $n$ist sehr schlecht. Für $n$ungerade, man hat ein Polynom ungeraden Grades, das negative Werte annehmen wird. Ich denke, P1 und P2 erfordern ein Summationsverfahren, dh ausgehend von $\mathbb{R}[[g]]$zu $\mathbb{R}$. Man könnte P3 einfach als die Positivität des Terms nullter Ordnung definieren, aber das scheint zu grob zu sein.

Beachten Sie schließlich, dass kürzlich Arbeiten zur Verletzung der Einheitlichkeit in QFTs in nicht ganzzahliger Dimension durchgeführt wurden (siehe diesen Artikel ). Ich habe es mir nicht angesehen, aber ich vermute, dass sie dieses Positivitätsproblem irgendwie angegangen sein müssen.