Gibt es strenge Konstruktionen des Pfadintegrals für Gitter QFT auf einem unendlichen Gitter?

Gitter QFT auf einem endlichen Gitter* ist ein vollständig wohldefiniertes mathematisches Objekt. Dies liegt daran, dass das Pfadintegral ein gewöhnliches endlichdimensionales Integral ist. Wenn das Gitter jedoch unendlich ist, ist die mathematische Definition des Pfadintegrals nicht mehr offensichtlich. Intuitiv erwarte ich immer noch, dass die Konstruktion dieses Pfadintegrals viel einfacher ist als die Konstruktion von Pfadintegralen für die Kontinuums-QFT. Dies liegt daran, dass wir auf dem Gitter eine explizite UV-Grenze haben und insbesondere die bloßen Parameter der Aktion endlich sind, sodass die Aktion eine ehrliche Funktion im Feldraum ist.

Natürlich interessiere ich mich für Wechselwirkungstheorien (zB Gitter-Yang-Mühlen), da freie Theorien zu Gaußschen Integralen führen, die auch im unendlichdimensionalen Fall relativ einfach zu definieren sind.

*Normalerweise werden periodische Randbedingungen verwendet, sodass das endliche Gitter ein Produkt zyklischer endlicher Gruppen ist

Antworten (2)

Es gibt rigorose Konstruktionen von QFTs in unendlichem Volumen. Das Buch von Glimm & Jaffe tut dies für interagierende 2D-Skalare (unter der Annahme, dass die Wechselwirkungen nicht zu stark sind). Ich bin sicher, dass Sie in der Literatur weitere Beispiele finden können (oder vielleicht wird Sie jemand anderes darauf hinweisen).

Wenn Sie sich jedoch auf ein Gitter beschränken, kaufen Sie nicht wirklich viel. Wenn die von Ihnen verwendete Gitterwirkung ungefähr lokal und eine gute Annäherung an die wahre effektive Wirkung ist, sind Sie wahrscheinlich sowieso nicht zu weit von der Kontinuumsgrenze entfernt.

Eine der kleinen Überraschungen des konstruktiven QFT – zumindest wenn Sie mit Peskin & Schroder aufgewachsen sind – ist, dass das Entfernen von IR-Cutoffs ein erheblich schwierigeres Problem ist als das Entfernen von UV-Cutoffs. Zum einen können Sie normalerweise nicht einfach eine Begrenzung der endlichen Volumenmaße nehmen. Stattdessen müssen Sie eine Sammlung von Observablen finden, deren Erwartungswerte in der IR-Grenze wohldefiniert bleiben, und dann so etwas wie den Satz von Minlos verwenden, um auf die Existenz eines Maßes zu schließen. Die richtigen Observablen zu finden ist nicht einfach. Sie möchten zeigen, dass die Erwartungswerte einer Form der Cluster-Zerlegung gehorchen, sodass Sie Dinge ignorieren können, die weit entfernt passieren. Dies ist gerade in der massiven 2D-Skalarfeldtheorie etwas schwierig, wo die Korrelationsfunktionen der grundlegenden Observablen exponentiell abfallen. (Es braucht Glimm & Jaffe braucht nur ein paar Seiten, um die Existenz einer endlichen Volumenkontinuumsgrenze zu zeigen, aber sie braucht ein paar Kapitel, um zu zeigen, dass die unendliche Volumengrenze existiert.) Noch schwieriger ist es, wenn Ihre Korrelatoren nur wie Polynome zerfallen. Und in Theorien wie der Yang-Mills-Theorie oder masselosen 2D-Skalaren, wo die Korrelationsfunktionen grundlegender Observablen tatsächlich auftreten könnenmit der Entfernung wachsen , kann es ungeheuer hart werden. Sie müssen genau die richtigen Observablen finden – zB potenzierte Felder im 2. Skalarfall – und zeigen, dass sich die Divergenzen aufheben. (Der Millenium-Preis für die Yang-Mills-Theorie läuft wirklich darauf hinaus, das IR-Problem zu lösen. Das UV-Problem in endlichem Volumen wird als grundsätzlich lösbar angesehen.)

Dass IR der schwierige Teil ist, ist ziemlich überraschend, da dieses Problem nicht nur bei QFT auftritt. Es entsteht schon in der "einfachen" statistischen Physik im thermodynamischen Grenzfall zB ein unendliches Kristallgitter. Ich hätte nicht gedacht, dass auch Disziplinen wie die kondensierte Materie unter mangelnder mathematischer Strenge leiden.
Außerdem wäre es schön, wenn Sie darauf hinweisen würden, welche Gitter-QFTs in Glimm & Jaffe konstruiert werden, und noch schöner, wenn Sie die Methodik kommentieren würden, die sie verwenden, um sie zu konstruieren. Danke

Die Konstruktion der unendlichen Volumengittertheorie ist normalerweise nicht so schwierig. Typischerweise verwendet man die sogenannten Griffithschen Ungleichungen. Siehe diesen Artikel von Sokal (S. 327) sowie diesen Artikel von Guerra, Rosen und Simon (Abschnitt V). Bei Yang-Mühlen auf einem Gitter ist die unendliche Volumengrenze schwieriger. Bei großen Kopplungen wurde es jedoch rigoros durchgeführt, siehe diesen Artikel von Osterwalder und Seiler. Ich sollte hinzufügen, dass die von mir erwähnten Ergebnisse für eine beliebige Anzahl von Dimensionen gelten d ≥ 2 . Dies liegt daran, dass man gerade über die unendliche Volumengrenze auf einem festen Gitter spricht. Man muss sich um die Dimension kümmern, wenn man auch die Gittermasche auf Null bringen will.

Eines der vollständigsten Bücher über die unendliche Volumengrenze des Gitters aus mathematisch strenger Sicht ist "Gibbs Measures and Phase Transitions", 2. Auflage von H.-O. Georgii. Siehe insbesondere die Anmerkungen zu den Abschnitten 4.3 und 4.4 auf Seite 458, die verschiedene Techniken diskutieren, die man für unbeschränkte Spinsysteme verwenden kann.

Können Sie bitte erklären, welche QFTs jeder Artikel abdeckt? Sokal macht Phi4 (in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen?), GRS macht P(phi) in 2D (nur?) Und OS macht Yang-Mills in wie vielen Dimensionen?
Das Buch von Georgii ist nett, behandelt aber nur klassische Feldtheorien auf einem Gitter, während es um Quantenfelder ging.
@ArnoldNeumaier: Die Frage betrifft das Pfadintegral. Gestatten Sie mir, mit zur euklidischen Formulierung zu wechseln − S Anstatt von ich S dann ist dieses Pfadintegral das Integral über klassische Feldkonfigurationen auf dem Gitter, und genau das deckt Georgii ab.
Reicht dies aus, um eindeutige Wightman-Funktionen zu erzeugen? Ich habe keine diskrete Version des Osterwalder-Schrader-Rekonstruktionssatzes gesehen.
Selbst in endlichen Dimensionen sind Grenzen von oszillierenden Interalen viel schwerer festzulegen als von abklingenden. Die Äquivalenz, die Sie zu behaupten scheinen, scheint also nicht offensichtlich zu sein
Gleichwertigkeit habe ich nicht behauptet. Physiker scheinen einfach ziemlich liberal zu sein, wenn es darum geht, von euklidisch zu oszillierend und umgekehrt zu wechseln, also dachte ich, ich würde eine Antwort geben, die auf den euklidischen Fall anwendbar ist. Ich weiß nichts über Wightman-Axiome auf dem Gitter. Diese Axiome verwenden die Poincare-Gruppe in wesentlicher Weise, und das haben wir nicht auf dem Gitter. Vielleicht näher an Ihrem Anliegen ist die Theorie der Quantensysteme auf dem Gitter (diskutiert in Ruelle, aber nicht in Georgii). Man kann ein Quantensystem darauf abbilden Z d zu einem Klassiker...
... eins drauf Z d × [ 0 , ∞ ) und man könnte mit einer Annäherung durch Halbräume in diskretisieren Z d + 1 . Es gibt einen Schwierigkeitssprung von der klassischen zur Quantentheorie, aber einige Korrelationsungleichheitstechniken, die im klassischen Fall funktionieren, können auf die Quantentheorie verallgemeinert werden. Ein gutes Beispiel ist arxiv.org/abs/0901.0328 , wo sie ein Quantenanalog von Aizenmans zufälliger Stromdarstellung verwenden.
Gibt es strenge Konstruktionen des Pfadintegrals für Gitter QFT auf einem unendlichen Gitter?
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