Abweichendes Pfadintegral

Question

Abweichendes Pfadintegral

Benutzer28355

Was bedeutet es, in einer QFT ein divergentes Pfadintegral zu haben?

Genauer gesagt, wenn

\int e^{ich S [ϕ] / ℏ} D ϕ (T) = \infty

$\int e^{i S[\phi]/\hbar} D\phi (t)=\infty$ Was bedeutet dies für die QFT des Feldes

ϕ

$\phi$ ?

Das Feld $\phi$ hat Aktion

S [ϕ] = \int (\frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ - v (ϕ)) D v Ö l

$S[\phi]=\int\left(\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-V(\phi)\right)\mbox{d}vol$ wo wir die Minkowski-Signatur verwenden

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ .

Alexander Nelson

Was ist die Aktion?

Alexander Nelson

Der Grund, warum ich nach der Aktion frage, ist: (a) Sie könnten es mit einer "trivialen Unendlichkeit" aus dem Volumen einer Umlaufbahn zu tun haben; (b) es könnte eine legitime Unendlichkeit sein [z. B. könnte die Aktion nach der Wick-Rotation von unten unbegrenzt sein], wo Sie Gitternäherungen oder effektive Feldtheorie verwenden müssten; (c) manchmal könnten es "Geister von abgewichenen Größen" sein, wenn man die Kontinuumsgrenze endlicher Differenzen nimmt. Ich kann nicht sagen, welche, es sei denn, wir sehen die Aktion ...

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v3): Was ist das Potenzial

V

$V$ ?

Alexander Nelson

Vermutlich ist es irgendeine Interaktion

V (ϕ) O (ϕ^{3})

$V(\phi)~\mathcal{O}(\phi^3)$ . Ich bin bei der Arbeit und kann nicht antworten (vielleicht gibt @Qmechanic oder jemand anderes eine kohärente/keine Tweetlänge). Grundsätzlich überlegen Sie

\int \exp (S_{0} [ϕ] + \int V (ϕ) d^{n} x) D ϕ = \int \sum_{k = 0} (\int V (ϕ) d^{n} x)^{k} \exp (S_{0} [ϕ]) D ϕ

$\int\exp(S_{0}[\phi]+\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)\, D\phi = \int\sum_{k=0}(\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)^{k}\exp(S_{0}[\phi])\,D\phi$ dann schneide die Reihe nach ein paar Termen ab, sonst divergiert sie und du bekommst Unendlichkeiten.

Benutzer28355

@AlexNelson Das verstehe ich. Was bedeutet es jedoch physikalisch für ein divergentes Pfadintegral?

Antworten (1)

Abweichendes Pfadintegral

Der Grund, warum ich nach der Aktion frage, ist: (a) Sie könnten es mit einer "trivialen Unendlichkeit" aus dem Volumen einer Umlaufbahn zu tun haben; (b) es könnte eine legitime Unendlichkeit sein [z. B. könnte die Aktion nach der Wick-Rotation von unten unbegrenzt sein], wo Sie Gitternäherungen oder effektive Feldtheorie verwenden müssten; (c) manchmal könnten es "Geister von abgewichenen Größen" sein, wenn man die Kontinuumsgrenze endlicher Differenzen nimmt. Ich kann nicht sagen, welche, es sei denn, wir sehen die Aktion ...
Vermutlich ist es irgendeine Interaktion $V(\phi)~\mathcal{O}(\phi^3)$ . Ich bin bei der Arbeit und kann nicht antworten (vielleicht gibt @Qmechanic oder jemand anderes eine kohärente/keine Tweetlänge). Grundsätzlich überlegen Sie $\int\exp(S_{0}[\phi]+\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)\, D\phi = \int\sum_{k=0}(\int V(\phi)\,\mathrm{d}^{n}x)^{k}\exp(S_{0}[\phi])\,D\phi$ dann schneide die Reihe nach ein paar Termen ab, sonst divergiert sie und du bekommst Unendlichkeiten.
@AlexNelson Das verstehe ich. Was bedeutet es jedoch physikalisch für ein divergentes Pfadintegral?

Souvik · Answer 1

Wenn das Pfadintegral selbst divergiert, bedeutet dies, dass das vev divergiert. Das allein ist schlecht, weil dann jede Willkür $n$ -Punkt-Funktion verschwindet. Denken Sie daran, dass wir zur Berechnung von Korrelationsfunktionen a anhängen $J(x)\phi(x)$ zur Aktion und berechnen

\frac{δ^{N}}{δ J (X_{1}) \dots δ J (X_{N})} \int e^{ich S [ϕ] / ℏ + J (X) ϕ (X)} D ϕ = ⟨ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{N}) ⟩

$\frac{\delta^n}{\delta J(x_1)\ldots \delta J(x_n)} \int e^{i S[\phi]/\hbar + J(x)\phi(x)}\mathcal{D}\phi = \langle\phi(x_1)\ldots \phi(x_n)\rangle$ die durch die vev normalisiert wird. Damit könntest du nichts vernünftiges berechnen.

zB kann ein vev divergieren, wenn bei Wick-Rotation zur euklidischen Zeit die Aktion von unten unbegrenzt sein kann (wie @Alex betont) - das würde normalerweise passieren, wenn das Potenzial schlecht ist.

Abweichendes Pfadintegral

Benutzer28355

Alexander Nelson

Alexander Nelson

QMechaniker

Alexander Nelson

Benutzer28355

Antworten (1)

Souvik

Lagrangians, die Terme mit 1 und 2 Ableitungen kombinieren

Deltafunktional im Pfadintegral

Wenn Pfadintegrale nicht wohldefiniert sind, wie können sie irgendeine physikalische Bedeutung haben?

Warum ist das Pfadintegral nicht streng?

Intuition für Pfadintegrale und wie man sie auswertet

Gibt es strenge Konstruktionen des Pfadintegrals für Gitter QFT auf einem unendlichen Gitter?

Strenge in der Quantenfeldtheorie

Pfadintegral in QM vs. QFT

Mathematische Formulierung für Fermionpfadintegrale?

Maß des Feynman-Pfadintegrals