Deltafunktional im Pfadintegral

Wenn zB$b=1$, ist es offensichtlich, dass das Delta-Funktional – man sollte es wirklich nennen$\Delta$und nicht$\delta$– „streicht“ gegen das Integral, gebend

$$\int L(\phi,-a\phi) {\mathcal D}\phi$$ wo ich gerade den richtigen Wert für ersetzt habe $\phi'$. Ähnlich für $a=1$. Nun zum Allgemeinen $a,b$, der Jacobi ist nur die einfache Kraft $b^{-N}$Wo $N$ist die (naiv unendliche) Dimension des Integrals ${\mathcal D}\phi'$. In einer sinnvollen Regelung $N$wird wirklich zur Euler-Charakteristik $\chi$des Verteilers, auf dem $\phi'$definiert – die geregelte „Anzahl der Punkte“ auf einer Mannigfaltigkeit. Das Ergebnis ist also $$\int L(\phi,-a\phi/b) {\mathcal D}\phi \cdot b^{-\chi}$$ Wenn es viele sind, $k$Felder pro Punkt, die Sie benötigen $k\chi$, nicht nur $\chi$. In der Praxis der Faktor $b^{-\chi}$ist nur eine Normalisierungskonstante, die Sie sowieso auf einen richtigen Wert renormalisieren müssen. Es hängt nicht von dynamischen Feldern ab, also können Sie es ziemlich ignorieren.

Sie sollten keine Angst vor solch einfachen Manipulationen haben.