Die Quantenfeldtheorie ist ein weites Feld und hat den Ruf, Methoden zu verwenden, die mathematisch begehrenswert sind. Zum Beispiel das Arbeiten mit und Subtrahieren von Unendlichkeiten oder die Verwendung von Pfadintegralen, die im Allgemeinen keine mathematische Bedeutung haben (zumindest noch nicht) ect. Meine Frage ist ein wenig vage, aber ich bin daran interessiert zu hören, wie der Status der Strenge in QFT ist. Was ist bekanntermaßen mathematisch streng und konsistent, was ist bekanntermaßen nicht streng? Alle Beispiele und Referenzen sind willkommen.
Hinzugefügt: Nur um klarzustellen, dass ich mit rigoros alles gemeint habe, was ein Mathematiker als zufriedenstellend empfinden würde. Meine Frage bezog sich auch nicht auf Bücher mit einem (in gewissem Sinne) rigorosen Ansatz, obwohl dies begrüßt wurde. Es ging um konkrete Beispiele, was als mathematisch befriedigend gilt und was nicht. Beispielsweise kann die Quantisierung freier Felder, die die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen, rigoros durchgeführt werden. Es gibt keine allgemeine mathematische Definition des Feynman-Pfadintegrals und so weiter.
Deine Meinung
Arbeiten mit und Subtrahieren von Unendlichkeiten ... die im Allgemeinen keine mathematische Bedeutung haben
ist nicht wirklich richtig und scheint ein allgemeines Missverständnis darin zu enthalten. Die technischen Schwierigkeiten von QFT kommen nicht von Unendlichkeiten. Tatsächlich wurden seit Beginn der Mathematik Konzepte verwendet, die im Wesentlichen der Renormierung und Regularisierung entsprechen – siehe z. B. viele Artikel von Cauchy, Euler, Riemann usw. Tatsächlich hat GH Hardy ein Buch zum Thema divergente Reihen veröffentlicht :
http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492
Es gibt sogar einen ganzen Zweig der Mathematik namens "Integrationstheorie" (von dem Dinge wie die Lebesgue-Integration eine Teilmenge sind), der diese Art von Problemen verallgemeinert. Es ist also überhaupt kein Problem, dass Unendlichkeiten auftauchen, in gewisser Weise werden sie aus Bequemlichkeit angezeigt.
Die Idee, dass Unendlichkeiten irgendetwas damit zu tun haben, QFT axiomatisch zu machen, ist also nicht richtig.
Das eigentliche Problem besteht aus formalerer Sicht darin, dass Sie QFTs über eine Art Pfadintegral konstruieren "wollen". Aber das Pfadintegral ist formal (dh für Mathematiker) ein Integral (im allgemeinen Sinn, der in Themen wie "Integrationstheorie" vorkommt) über einem ziemlich pathologisch aussehenden unendlich dimensionalen LCSC-Funktionsraum.
Der Versuch, ein vernünftiges Maß auf einem unendlich dimensionalen Funktionsraum zu definieren, ist problematisch (und die allgemeinen Eigenschaften dieser Räume scheinen nicht besonders gut verstanden zu sein). Sie stoßen auf Probleme, wie z. B. dass alle vernünftigen Mengen "zu klein" sind, um ein Maß zu haben, sich Sorgen um Maße pathologischer Mengen machen und sich Gedanken darüber machen, welche Eigenschaften Ihr Maß haben sollte, sich Sorgen machen, ob das " „Begriff ist überhaupt ein Maß usw.
Wenn Sie versuchen, dieses Problem zu beheben, würden Sie bestenfalls auf ein Problem stoßen, wie Sie es in der Definition des Lebesgue-Integrals haben, wo es das Integral definiert und Sie einige mathematisch interessante Eigenschaften konstruieren, aber der größte Nutzen besteht darin, dass Sie den Riemann missbrauchen können integral in der Weise, wie Sie es wollten. Tatsächlich ist die Berechnung von Integralen aus der Definition des Lebesgue-Integrals im Allgemeinen nicht einfach. Dies ist nicht wirklich genug, um die Aufmerksamkeit zu vieler Physiker auf sich zu ziehen, da wir bereits eine Definition haben, die funktioniert, und es wäre schön, alle ihre formalen Eigenschaften zu kennen, und würde uns sicherlich einige überraschende Dinge sagen, aber es ist nicht klar, dass es so ist wäre im Allgemeinen so nützlich.
Aus algebraischer Sicht glaube ich, dass Sie Probleme haben, wenn Sie versuchen, divergierende Produkte von Operatoren zu definieren, die vom Renormierungsschema abhängen. Sie müssen also eine Familie von haben -Algebren, die den Renormalisierungsgruppenfluss auf die richtige Weise respektiert, aber es scheint nicht so, als hätten die Leute versucht, dies auf vernünftige Weise zu tun.
Aus physikalischer Sicht interessiert uns das alles nicht, weil wir von Renormierung sprechen können und verlangen, dass unsere Antworten "physikalisch vernünftige" Eigenschaften haben. Das kann man auch mathematisch machen, aber die Mathematiker sind nicht daran interessiert, eine vernünftige Antwort zu bekommen; Was sie wollen, ist eine Reihe "vernünftiger Axiome", aus denen die vernünftigen Antworten folgen, also sind sie dazu verdammt, auf technische Schwierigkeiten zu stoßen, wie ich oben erwähnt habe.
Formal kann man jedoch nicht-wechselwirkende QFTs und quantenmechanische Pfadintegrale definieren. Es ist wahrscheinlich so, dass die formale Definition einer QFT in Reichweite dessen liegt, was wir tun könnten, wenn wir es wirklich wollten, aber es ist einfach kein überzeugendes Thema für die Leute, die verstehen, wie die Renormierung die Lösungen auf physikalisch vernünftige festlegt (Physiker) und so weiter Formale Aspekte sind nicht so gut verstanden, dass man den Formalismus "umsonst" bekommen könnte.
Mein Eindruck ist also, dass weder Physiker noch Mathematiker im Allgemeinen genug Wert darauf legen, zusammenzuarbeiten, um dieses Problem zu lösen, und es wird nicht gelöst, bis es als Folge des Verständnisses anderer Dinge "kostenlos" erledigt werden kann.
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Ich sollte auch kurz hinzufügen, dass CFTs und SCFTs mathematisch viel sorgfältiger definiert sind, und daher könnte eine vernünftige Alternative zu den klassischen Ideen, die ich oben erwähnt habe, darin bestehen, mit einer SCFT zu beginnen und eine allgemeine Feldtheorie als eine Art "kleine" Modifikation zu definieren davon, so gemacht, dass genau die richtigen Dinge klar definiert bleiben.
Erstens: Es gibt keine rigorose Konstruktion des Standardmodells, rigoros im Sinne der Mathematik (und nein, es gibt nicht viel Ambivalenz über die Bedeutung von Strenge in der Mathematik).
Das sind eine Menge Referenzen, die Daniel zitiert hat, ich werde versuchen, sie ein wenig einzuordnen :-)
Axiomatische (synonym: lokale oder algebraische) QFT versucht, Axiome für die Heisenberg-Sichtweise zu formulieren (Zustände sind statisch, Observable sind dynamisch). Es sind drei Sätze von Axiomen bekannt:
die Wightman-Axiome ,
Grob beschreiben die Wightman-Axiome, wie sich Felder auf Observablen beziehen, die Osterwalder-Schrader-Axiome sind die Wightman-Axiome für die euklidische Feldtheorie, und die Haag-Kastler-Axiome umgehen Felder vollständig und beschreiben die Observablen an sich. Alle drei Sätze von Axiomen sind ungefähr äquivalent, was bedeutet, dass die Äquivalenz bewiesen wurde, manchmal mit zusätzlichen Annahmen, die Physiker für irrelevant halten.
"PCT, Spin and Statistics, and All That" war die erste Einführung in die Wightman-Axiome.
"Lokale Quantenphysik: Felder, Teilchen, Algebren" ist eine Einführung in die Haag-Kastler-Axiome, ebenso wie "Mathematische Theorie der Quantenfelder".
"Perturbative Quantum Electrodynamics and Axiomatic Field Theory" ist eine Beschreibung der QED aus Sicht der Haag-Kastler-Axiome.
„Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory“ handelt von der Quantisierung vorgegebener klassischer Gleichungen im Sinne von Haag-Kastler.
"Quantum Physics: A Functional Integral Point of View" verwendet die Osterwalder-Schrader-Axiome.
Die 2D-konforme Feldtheorie kann beispielsweise mit den Osterwalder-Schrader-Axiomen axiomatisiert werden.
Die funktorielle Quantenfeldtheorie axiomatisiert den Schrödinger-Standpunkt , siehe zB hnLab zu FQFT .
Dazu gehören zum Beispiel topologische Quantenfeldtheorien, diese beschreiben im Wesentlichen Theorien mit endlichen Freiheitsgraden. Dieser Zweig hatte großen Einfluss auf die Mathematik, insbesondere im Hinblick auf die Differentialgeometrie und hier auf die Theorie der glatten 3D- und 4D-Mannigfaltigkeiten. Ich würde setzen
Daniel S. Freed (Autor), Karen K. Uhlenbeck: „Geometrie und Quantenfeldtheorie“
in dieser Kategorie.
"Geometrie und Quantenfeldtheorie"
Quantisierung klassischer Feldtheorien : Beachten Sie, dass die axiomatischen Ansätze nicht von klassischen Feldtheorien abhängen, die quantisiert werden müssen, sie öffnen die Türen für eine direkte Konstruktion von Quantensystemen ohne klassischen Spiegel. Der Lagrange-Ansatz für QFT ist ein Beispiel für einen Ansatz, der mit einer klassischen Feldtheorie beginnt, die quantisiert werden muss, wofür verschiedene Mittel verwendet werden können.
Ticciati: „Quantum Field Theory for Mathematicians“ ist eigentlich ohne viel Aufhebens eine ziemlich kanonische Einführung in die Lagrange-QFT.
Es gibt viel Material über die Geometrie klassischer Feldtheorien und Varianten, sie zu quantisieren, wie "geometrische Quantisierung".
Das Buch Welington de Melo, Edson de Faria: "Mathematical Aspects of Quantum Field Theory" ist ein Beispiel dafür.
Viel fortgeschrittener ist "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians (2 vols)"
Für das Wegintegral gibt es zwei Betrachtungsweisen:
Das Pfadintegral ist – zusammen mit den Feynman-Regeln – ein Buchführungsinstrument für ein Spiel namens Renormalisierung, mit dem Sie Zahlen nach geheimnisvollen Regeln berechnen können.
das Pfadintegral ist ein mathematisches Konstrukt wie ein „Maß“ – aber kein Maß im Sinne der heute bekannten Maßtheorie – das es zu entdecken und entsprechend zu definieren gilt.
AFAIK hat mit dem zweiten Standpunkt nicht viel Fortschritt gemacht, aber es gibt Leute, die daran arbeiten, zum Beispiel die Autoren des Buches "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction". Viel mehr Material zur mathematischen Theorie der Pfadintegrale im nLab finden Sie hier .
Hier ist meine Antwort aus Sicht der Physik der kondensierten Materie:
Die Quantenfeldtheorie ist eine Theorie, die den kritischen Punkt und den Nachbarn des kritischen Punkts eines Gittermodells beschreibt. (Gittermodelle haben eine strenge Definition).
Um also Quantenfeldtheorien rigoros zu definieren, muss man ihre UV-Vervollständigung finden.
Quantenfeldtheorien zu klassifizieren bedeutet, alle möglichen kritischen Punkte von Gittermodellen zu klassifizieren, was ein sehr wichtiges und sehr schwieriges Projekt ist.
(Man kann "Gittermodell" oben durch "nicht störungsreguliertes Modell" ersetzen)
Es gibt mehrere Bücher, die sich der QFT (und/oder der Eichtheorie) auf verschiedenen Ebenen der „mathematischen Strenge“ nähern (für eine Definition von „mathematischer Strenge“ – die Moshe gutheißen würde ;-).
Also, lassen Sie mich Ihnen eine Art „vorläufige Liste“ geben… sie ist keineswegs vollständig und auch nicht in einer bestimmten Reihenfolge, aber ich denke, sie kann den Weg für die weitere Arbeit ebnen.
Auf jeden Fall… da draußen gibt es noch viel mehr, nicht nur in Bezug auf Themen (Renormalisierung usw.), sondern auch in Bezug auf Artikel, Bücher und so weiter.
Es gibt also viel "mathematische Strenge" in QFT (und übrigens auch in der Stringtheorie), einschließlich verschiedener "Ebenen", die jedem Geschmack gefallen und ihm gerecht werden sollten.
PS: Es gibt hier andere Themen, die sich in der einen oder anderen Form mit diesem Thema befassen, zB Theorem von Haag und Praktische QFT-Berechnungen . Seien Sie also nicht schüchtern und schauen Sie sich um. :-)
Der Ruf von QFT, mathematisch unsolide Methoden zu verwenden, ist heutzutage nicht wirklich verdient. Sicherlich ist nicht alles unter perfekter analytischer Kontrolle, aber die Situation ist nicht wirklich viel schlimmer als in der Strömungsdynamik.
Insbesondere die Sache mit der „Subtraktion von Unendlichkeiten“ wird nicht mehr wirklich als Thema betrachtet. Die Mathematiker, die sich kürzlich damit befasst haben (wie Borcherds & Costello), sind im Grunde zu dem Schluss gekommen, dass die effektive Feldtheorie von Wilson diese Schwierigkeit löst. Sie können alle Berechnungen ausschließlich in Bezug auf „effektive“ Größen über große Entfernungen durchführen, die übrig bleiben, wenn Physiker Unendlichkeiten subtrahieren. Kurzdistanz-Unendlichkeiten stellen daher kein Problem dar, um Korrelationsfunktionen zu definieren; es gibt nichts Widersprüchliches an dem integralen Formalismus des grundlegenden Pfades.
Dies ist wirklich die gleiche Schlussfolgerung, zu der die konstruktiven Feldtheoretiker kamen, als sie in den 70er und 80er Jahren Beispiele aus niedrigeren Dimensionen untersuchten.
Die Herausforderung bei der rigorosen QFT ist der Umgang mit Infrarot-Divergenzen. Wenn Ihre Raumzeit ein unendliches Volumen hat, dann kann Ihr Feldsystem beliebig große Freiheitsgrade haben. Die Kopplung mit diesen Freiheitsgraden kann Ihnen Unendlichkeiten geben. Hier gibt es echte mathematische Probleme, aber sie entsprechen eher der Beschreibung der Lösungen einer Gleichung als der Beschreibung der Gleichung selbst. (Wirklich nicht triviale Dinge können passieren. In der QCD zum Beispiel gibt es Confinement: Viele der Observablen, von denen Sie naiverweise erwarten würden, dass sie in Bezug auf das Pfadintegralmaß integrierbar sind - wie die Observable, die ein freies Quark oder ein freies darstellt Gluon – nicht. Stattdessen sind die integrierbaren Observablen komplizierte Mischungen aus Quarks und Gluonen, wie Protonen, Neutronen und Glueballs.) Pfadintegralmaß, sondern vom Beweis, dass es ist -Punkt-Korrelationsfunktionen existieren tatsächlich.
Das bedeutet natürlich, dass die meisten Berechnungen von beobachtbaren Erwartungswerten – wie in der Gittereichtheorie – keiner strengen analytischen Kontrolle unterliegen. Konvergenz in der Simulation ist vorerst meist eine Frage des guten Urteilsvermögens.
Um irgendetwas rigoros über dieses Zeug zu sagen, müssen die Mathematiker mit ziemlicher Sicherheit die Renormierung in nicht störungsfreien Umgebungen (dh auf dem Gitter) besser in den Griff bekommen. Es gibt eine ganze Reihe von Mathematikern, die aktiv an diesem Thema arbeiten. Geometer und Topologen werden immer raffinierter in der topologischen Feldtheorie, während die Analytiker die statistische Feldtheorie aufgegriffen haben.
Ich denke, alles ist ausreichend streng, wenn Sie es nach den mathematischen Regeln tun.
Schummeln beginnt, wenn sie sagen: "Das Integral der Delta-Funktion zum Quadrat, obwohl es wie unendlich aussieht, muss aus den experimentellen Daten bestimmt werden." Es ist einfach lustig.
Eine ähnliche Unendlichkeit begegnete mir einmal bei einem einfacheren, aber exakt lösbaren Problem. Zuerst wollte ich Renormierungen durchführen (Bestimmung des Integralwerts aus experimentellen Daten), aber glücklicherweise gelang es mir, eine bessere anfängliche Annäherung zu wählen und die Störungskorrekturen zu verringern. Das Problem liegt also in der ersten Annäherung. Wenn es gut ist , dann sind die störenden Korrekturen klein . Ansonsten sind sie groß.
Ich habe auch eine Erklärung gefunden, warum Subtraktionen (Verwerfen von Korrekturen) manchmal funktionieren. Aus meiner jetzigen Sicht muss der QFT neu formuliert werden, da er schlecht konstruiert ist. Neuformuliertes QFT muss unterwegs nicht repariert werden.
Ich möchte darauf hinweisen, dass es verschiedene Probleme gibt, die von verschiedenen Standpunkten zu diesem Thema ausgehen. Es wäre sehr kompliziert, sie alle zu kommentieren, daher möchte ich mich auf eine bestimmte beschränken.
Als erste Bemerkung muss ich festhalten, dass niemand, der in der Mathematik arbeitet, Zweifel daran haben darf, was „rigoros“ bedeutet. Ich werde dies nicht kommentieren, da es scheint, dass es bereits klar erklärt wurde.
Zu Ihrer Frage möchte ich anmerken, dass QFT keine "einzigartige" Theorie ist, sondern ein Bündel mehrerer verschiedener, die aufgrund einiger intrinsischer Beschreibungen mehr und weniger miteinander verwandt sind. Zum Beispiel ist das "Verhalten" und der Aufbau der (reellen oder komplexen) Skalarfeldtheorie und der Eichtheorie ziemlich unterschiedlich. Dies ist eine Art natürliche Folge der Tatsache, dass die Klassische Feldtheorie (ClFT) (die bis zu einem gewissen Grad völlig rigoros ist, obwohl sie immer noch einige nichttriviale Probleme enthält) auch eine Sammlung mehrerer verschiedener Theorien ist, die eine allgemeine Geometrie teilen Beschreibung, die aber ihre eigenen besonderen Schwierigkeiten haben: Als besonderes Setting von ClFT können wir die klassische Mechanik, den Elektromagnetismus oder sogar die nichtabelsche Eichtheorie usw. erhalten. Lassen Sie mich auch hinzufügen, dass die allgemeine Philosophie, die ClFT zugrunde liegt, in gewissem Sinne als die einzige Möglichkeit erscheint, relativistische Erweiterungen der freien Situation zu konstruieren, als einen großen Unterschied zur klassischen Mechanik, in der Sie einem freien Teilchen jede Einschränkung hinzufügen können, ohne zu brechen jedes grundlegende Prinzip der Theorie. Ich gebe nur wieder, was P. Deligne und D. Freed im bereits erwähnten ersten Band von "QFT and Strings for Mathematicians" aussagen.
Was nun das Problem der Quantisierung jeder der speziellen Einstellungen betrifft, die Sie in ClFT berücksichtigen können, gibt es mehrere Probleme, mit denen Sie sich befassen müssen. Lassen Sie mich zwei unterschiedliche Aspekte des Problems betrachten: störungsbedingte und nicht störungsbedingte QFT. Wir können sagen, dass Ersteres (moralisch) ein Schatten von Letzterem ist. Darüber hinaus kann die perturbative QFT (pQFT) in vielen Situationen mathematisch streng entwickelt werden. Sie können den Artikel von R. Borcherds im arXiv "Renormalisierung und Quantenfeldtheorie" lesen (auch wenn einige der Ideen bereits in anderen Texten in der Literatur vorhanden waren und meiner Meinung nach hinter einigen Konstruktionen lauern). und Beweise des Autors, siehe etwa die Artikel von O. Steinmann, die auch von R. Brunetti, K. Fredenhagen usw. berücksichtigt wurden). In dieser Situation definiert er auf strenge Weise ein Objekt, das sich wie das Feynmann-Maß verhält ("über das Riesz-Theorem"), und er gibt eine sehr vollständige Beschreibung, wie die pQFT in mehreren Situationen beschrieben werden sollte. Das Problem bleibt jedoch, eine korrekte Formulierung der nicht-perturbativen QFT zu geben. Dies ist ein großes Problem, und nur wenige strenge Konstruktionen bis zur Dimension 2 (auch Dimension 3, aber wirklich wenige, soweit ich weiß. Es wäre schön, die Experten in diesem Punkt zu hören) wurden durchgeführt. Sie können das Buch von J. Glimm und A. Jaffe „Quantum Physics – a Functional Integral Point of View“ sehen. Tatsächlich tritt das Hauptproblem auf, wenn versucht wird, die Eichtheorie als Untersammlung von QFT-Situationen zu quantifizieren. Das Fehlen eines solchen allgemeinen Bildes bedeutet in der Tat, dass wir eigentlich nicht wissen, wie eine Quantenfeld-Gauge-Theorie wirklich aussieht (oder einfach ist, wenn Sie wollen). Insbesondere (ich erwähne dies, weil einige Leute argumentieren, dass das Folgende eine Folge davon ist, nur eine Störungsbeschreibung zu haben), zwei Hauptbehauptungen von Physikern über das Standardmodell (die in gewisser Weise verwandt sind), die Massenlücke und die Quarkbeschränkung, sind nicht bewiesen (das erstere stellt tatsächlich eines der Millennium-Preis-Probleme dar). Unnötig zu sagen, dass keines der physikalischen heuristischen Argumente eindeutig ausreichend ist. zwei Hauptbehauptungen der Physiker über das Standardmodell (die in gewissem Sinne miteinander verwandt sind), die Massenlücke und die Quarkeinschließung, sind nicht bewiesen (die erstere bildet tatsächlich eines der Millennium-Preis-Probleme). Unnötig zu sagen, dass keines der physikalischen heuristischen Argumente eindeutig ausreichend ist. zwei Hauptbehauptungen der Physiker über das Standardmodell (die in gewissem Sinne miteinander verwandt sind), die Massenlücke und die Quarkeinschließung, sind nicht bewiesen (die erstere bildet tatsächlich eines der Millennium-Preis-Probleme). Unnötig zu sagen, dass keines der physikalischen heuristischen Argumente eindeutig ausreichend ist.
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