Freier Teilchenpfad integrale Matsubara-Frequenz

Question

Freier Teilchenpfad integrale Matsubara-Frequenz

DKS

Ich versuche zu rechnen

Z = \int_{ϕ (β) = ϕ (0) = 0} D ϕ e^{- \frac{1}{2} \int_{0}^{β} D τ {\dot{ϕ}}^{2}}

$Z = \int\limits_{\phi(\beta) = \phi(0) =0} D \phi\ e^{-\frac{1}{2} \int_0^{\beta} d\tau \dot{\phi}^2}$ ohne es in den Matsubara-Frequenzraum zu transformieren , kann ich das zeigen

Z = \sqrt{\frac{1}{2 π β}}

$Z = \sqrt{\frac{1}{2\pi \beta}}$ . Ich habe jedoch ein Problem, das gleiche Ergebnis im Matsubara-Frequenzraum zu erhalten:

ϕ (τ) = \frac{1}{\sqrt{β}} (\sum_{N} ϕ_{N} e^{ich ω_{N} τ}),

$\begin{equation} \phi (\tau) = \frac{1}{\sqrt{\beta}} \left( \sum_{n} \phi_n \ e^{i\omega_n\tau} \right), \end{equation}$ mit

\sum_{n} ϕ_{n} = 0, ω_{n} = \frac{2 π n}{β}

$\sum_n \phi_n =0, \omega_n = \frac{2\pi n}{\beta}$ . Und

Z = \int \prod_{N} D ϕ_{N} δ (\sum_{N} ϕ_{N}) e^{- \frac{1}{2} \sum_{N} ϕ_{N} ϕ_{- N} ω_{N}^{2}}

$\begin{equation} Z = \int \prod_n D\phi_n\ \delta\left(\sum_n \phi_n\right)\ e^{-\frac{1}{2} \sum_n \phi_n \phi_{-n} \omega_n^2 } \end{equation}$ was, glaube ich, verschwindet.

Ich denke, das Problem liegt in der Messung. Irgendwelche Kommentare?

Info: Ich schreibe hier die Schulmansche Herleitung in imaginärer Zeit.

\begin{array}{rcl} Z & = & \int_{ϕ (0) = ϕ (β) = 0} D ϕ (τ) e^{- \frac{1}{2} \int_{0}^{β} D τ {\dot{ϕ}}^{2}} \\ = & {lim}_{N \to \infty} (\frac{1}{2 π ϵ})^{(N + 1) / 2} \int D ϕ_{1} \dots D ϕ_{N} e^{- \frac{1}{2 ϵ} \sum_{ich = 0}^{N} (ϕ_{ich + 1} - ϕ_{ich})^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} Z &=& \int\limits_{\phi(0) =\phi(\beta) = 0} D\phi(\tau) e^{-\frac{1}{2}\int_0^{\beta}d\tau\dot{\phi}^2}\\ &=& \text{lim}_{N \rightarrow \infty} (\frac{1}{2\pi \epsilon})^{(N+1)/2} \int d\phi_1 \dots d\phi_N e^{-\frac{1}{2\epsilon} \sum_{i =0}^N (\phi_{i+1} -\phi_i)^2} \end{eqnarray}$

Dann können wir die Identität verwenden

\int_{- \infty}^{\infty} D u \sqrt{\frac{A}{π}} e^{- A (X - u)^{2}} \sqrt{\frac{B}{π}} e^{- B (u - j)^{2}} = \sqrt{\frac{A B}{π (A + B)}} e^{- \frac{A B}{A + B} (X - j)^{2}}

$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} du \sqrt{\frac{a}{\pi}} e^{-a(x-u)^2}\sqrt{\frac{b}{\pi}} e^{-b(u -y)^2} = \sqrt{\frac{ab}{\pi(a+b)}} e^{-\frac{ab}{a+b}(x-y)^2} \end{equation}$ um die Summe zu bewerten

Z = \sqrt{\frac{1}{2 π β}} .

$\begin{equation} Z = \sqrt{\frac{1}{2\pi \beta}}. \end{equation}$

Antworten (1)

Freier Teilchenpfad integrale Matsubara-Frequenz

QMechaniker · Answer 1

I) Der euklidische Weg integral mit $\hbar=1$ liest

\begin{matrix} (1) & Z = \int_{D B C} D X e^{- S}, \end{matrix}

$Z~=~\int_{DBC} \!{\cal D}x ~e^{-S},\tag{1}$

mit Dirichlet-Randbedingungen (DBC)

\begin{matrix} (2) & X (0) = 0 = X (T) . \end{matrix}

$x(0)~=~0~=~x(T).\tag{2}$

Wir erweitern die reelle periodische Variable $x\in\mathbb{R}$ in Fourierreihen $^1$

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} X (T) = & \frac{A_{0}}{2} + \sum_{N \in N} {A_{N} \cos (ω_{N} T) + B_{N} Sünde (ω_{N} T)} \\ = & \sum_{N \in Z} C_{N} e^{ich ω_{N} T}, \\ ω_{N} := & \frac{2 π N}{T}, A_{N}, B_{N} \in R, \\ C_{N} \in & C, C_{N}^{*} = C_{- N} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} x(t) ~=~&\frac{a_0}{2}+\sum_{n\in\mathbb{N}} \left\{a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)\right\}\cr ~=~& \sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n e^{i\omega_n t}, \cr \omega_n~:=~&\frac{2\pi n}{T},\qquad a_n,b_n~\in~ \mathbb{R},\cr c_n~\in~& \mathbb{C}, \qquad c_n^{\ast}~=~c_{-n}. \end{align} \tag{3}$

Der DBC (2) wird

\begin{matrix} (4) & \sum_{N \in Z} C_{N} = 0 \Leftrightarrow C_{0} = - 2 R e \sum_{N \in N} C_{N} . \end{matrix}

$\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n~=~0\qquad\Leftrightarrow\qquad c_0 ~=~ -2{\rm Re}\sum_{n\in\mathbb{N}}c_n .\tag{4}$

Die Wirkung für ein freies nichtrelativistisches Punktteilchen mit Masse $m=1$ liest:

\begin{matrix} (5) & S = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} D T {\dot{X}}^{2} = T \sum_{N \in N} ω_{N}^{2} | C_{N} |^{2} . \end{matrix}

$S~=~\frac{1}{2} \int_0^T \!dt~ \dot{x}^2~=~T\sum_{n\in\mathbb{N}}\omega_n^2 |c_n|^2 . \tag{5}$

II) Wir wissen, dass die eigentliche Normierung des Wegintegrals (1) ist

\begin{matrix} (6) & Z = \frac{1}{\sqrt{2 π T}} . \end{matrix}

$Z~=~\frac{1}{\sqrt{2 \pi T}}.\tag{6}$

Dies lässt sich zB (ohne Fudge-Faktoren einzuführen!) aus der (Halb-)Gruppeneigenschaft von Feynman-Pfadintegralen ableiten, vgl. diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links. Bis jetzt haben wir im Grunde nur wiederholt, was OP in seiner Frage geschrieben hat.

III) Nun möchten wir die gleiche Rechnung mit Fourier-Reihen wiederholen, also mit den Matsubara-Frequenzen arbeiten. In dieser Antwort werden wir die (Halb-)Gruppeneigenschaft nicht untersuchen, sondern nur eine schnelle und schmutzige Berechnung mit verschiedenen Fudge-Faktoren durchführen und sehen, was wir bekommen. Da dies eine Hausaufgabe ist, wird die Erklärung etwas kurz gehalten.

Um das Pfadintegral (1) heuristisch zu verstehen, verwenden wir die folgenden Regularisierungsregeln für die Zeta-Funktion :

\begin{matrix} (7) & \prod_{N \in N} A = \frac{1}{\sqrt{A}} Und \prod_{N \in N} N = \sqrt{2 π}, \end{matrix}

$\prod_{n\in\mathbb{N}} a ~=~\frac{1}{\sqrt{a}} \quad\text{and}\quad \prod_{n\in\mathbb{N}} n ~=~\sqrt{2\pi}, \tag{7}$

die sich aus den Werten der Zeta-Funktion ergeben

\begin{matrix} (8) & ζ (0) = - \frac{1}{2} Und ζ^{'} (0) = - \ln \sqrt{2 π}, \end{matrix}

$\zeta(0)~=~-\frac{1}{2} \quad\text{and}\quad \zeta^{\prime}(0)~=~-\ln\sqrt{2\pi} , \tag{8}$ bzw. Nun sei das Wegintegralmaß

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} D X := & δ (B \sum_{N \in Z} C_{N}) A D C_{0} \prod_{N \in N} A^{2} D^{2} C_{N} \\ \overset{(7)}{=} & \frac{1}{B} δ (\sum_{N \in Z} C_{N}) D C_{0} \prod_{N \in N} D^{2} C_{N}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal D}x~:=~&\delta\left(B\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n\right) A\mathrm{d} c_0 \prod_{n\in\mathbb{N}} A^2 \mathrm{d}^2c_n \cr ~\stackrel{(7)}{=}~&\frac{1}{B}\delta\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} c_n\right) \mathrm{d} c_0 \prod_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{d}^2c_n , \end{align}\tag{9}$

Wo $A$ , $B$ sind Fudge-Faktoren. Interessanterweise ist Gl. (9) ist unabhängig von der $A$ -Fudge-Faktor! Nach Durchführung der Delta-Funktionsintegration und der Gaußschen Integrale finden wir

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} Z = & \frac{1}{B} \prod_{N \in N} \frac{π}{T ω_{N}^{2}} \\ = & \frac{1}{B} \prod_{N \in N} \frac{T}{4 π N^{2}} \\ \overset{(7)}{=} & \frac{1}{B \sqrt{π T}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Z~=~&\frac{1}{B} \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{\pi}{T\omega_n^2}\cr ~=~&\frac{1}{B} \prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&\frac{1}{B\sqrt{\pi T}}. \end{align}\tag{10}$

Anscheinend sollten wir den Fudge-Faktor wählen $B=\sqrt{2}$ um die richtige Normalisierung zu erreichen (6).

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$^1$ Beachten Sie, dass die Sinus- (Kosinus-) Modi (3) trivial (nicht trivial) den geraden (ungerade) Modi in meiner Phys.SE-Antwort hier entsprechen .

emm, dies wird die Frage von op im Kommentar nicht beantworten: if $\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}$ bereits konvergent (gegen 0), warum müssen wir noch regularisieren?
In der statistischen Physik die Zustandssumme $0<Z<\infty$ ist eine offensichtlich positive Größe. Mit anderen Worten, der Logarithmus $\ln Z\in\mathbb{R}$ sollte eine endliche Größe sein. (Insbesondere immer $Z=0$ ist ein unphysikalisches falsches Ergebnis und in gewissem Sinne genauso schlimm wie das Erhalten $Z=\infty$ , und ein sicheres Zeichen dafür, dass eine Regularisierung (und möglicherweise eine Renormalisierung ) erforderlich sind.)
Die andere Sache ist, glaube ich, das Dolmetschen $\prod_{n\in\mathbb{N}} \frac{T}{4\pi n^2}$ als $\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{T}{4\pi n^2}$ ist bereits eine Regularisierung, also Gitterregularisierung, $\omega_n=\frac{2\pi n}{\beta}, n=0, \pm 1, \pm2,\ldots\pm \frac{N}{2}$ , Wo $N=\frac{\beta}{\epsilon}$ , und in einer solchen Regularisierung $Z$ buchstäblich gleich $\lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{T}{4\pi n^2}=0$
@Qmechanic Ich habe deine Antwort gelesen. Danke schön. Da ich mit der von Ihnen verwendeten Methode nicht vertraut bin, kann ich nur sagen, dass sie das Problem möglicherweise lösen kann. Aber ich hatte nicht erwartet, dass dieses Problem eine schwierige akademische Frage sein würde.
Die Cut-Off-Regularisierung $\prod_{n=1}^N \frac{T}{4\pi n^2}$ benötigt auch Renormierung, dh Einfügen von Gegentermen.

Freier Teilchenpfad integrale Matsubara-Frequenz

DKS

Antworten (1)

QMechaniker

Jia Yiyang

QMechaniker

Jia Yiyang

DKS

QMechaniker

Warum gibt es keine Anomalie, wenn die Teilchenmechanik quantisiert ist?

Können wir die Feynman-Diagramme erhalten, indem wir die unendliche Reihendarstellung eines Pfadintegrals verwenden?

Dirac Current Spectral Representation

Determinante des d'Alembert-Operators □−m2◻−m2\mathop\Box-m^{2}

Herleitung der Gleichheit δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J]δϕ(x)|0⟩δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J] δϕ(x)|0⟩\frac{\delta \Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ delta\phi(x)}|0\rangle?

Schwinger-Dyson-Gleichungen: Herleitung einer Bewegungsgleichung für ⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩⟨ϕ(x)ϕ(y)⟩\langle \phi(x) \phi(y) \rangle

Wie leitet man diese Matsubara-Summe ab, wie sie in Wikipedia dargestellt ist?

Wie wird das funktionale Integral über den Impuls im Fall des reellen Skalarfeldes durchgeführt?

Deltafunktional im Pfadintegral

Wenn Pfadintegrale nicht wohldefiniert sind, wie können sie irgendeine physikalische Bedeutung haben?