Wie wird das funktionale Integral über den Impuls im Fall des reellen Skalarfeldes durchgeführt?

Das ist kein Handwinken und ich denke, dass diese spezielle Frage in praktisch jedem Lehrbuch behandelt wird, das Pfadintegrale enthält. Zunächst einmal sollten Sie beachten, dass wir uns integrieren können$\pi$den zweiten Exponenten nicht berührend, dh

$$\langle\phi_b\vert e^{-iHT}\vert\phi_a\rangle =\int \mathcal{D}\phi e^{i\int_0^T d^4x\mathcal{L}}\int\mathcal{D}\pi e^{i\int_0^Td^4x\Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi-\frac{i}{\sqrt{2}}\partial_t\phi\Big)^2}$$

Das Pfadintegral ist eigentlich eine Grenze eines regularisierten Integrals, wie wenn wir die Werte von nehmen$\pi$nicht auf einem Kontinuum, sondern nur auf einem Gitter. Vergessen Sie zunächst die räumlichen Koordinaten und berechnen Sie das folgende Integral:

$$\begin{eqnarray}\int \prod_{k=0}^{N-1}\frac{d\pi_k}{2\pi}\exp\left({i\sum_{k=0}^{N-1} \Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi_k-\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{\phi_{k+1}-\phi_k}{t_{k+1}-t_k}\Big)^2(t_{k+1}-t_k)}\right)\\ =\prod_{k=0}^{N-1}\int \frac{d\pi_k}{2\pi}\exp\left({i\Big(\frac{i}{\sqrt{2}}\pi_k-\frac{i}{\sqrt{2}}\frac{\phi_{k+1}-\phi_k}{t_{k+1}-t_k}\Big)^2(t_{k+1}-t_k)}\right)\end{eqnarray}$$ , die ein Produkt gewöhnlicher Gaußscher Integrale ist.

Ich würde Ihnen vorschlagen, dieses Integral zu berechnen und die Grenze zu nehmen$N\rightarrow+\infty$. Es gibt einen wichtigen Teil - wie das übliche Integral, um richtig definiert zu werden, sollte Ihr Pfadintegral nicht von der Methode abhängen, mit der Sie das Gitter eingeführt haben. Betrachten Sie auch Integrale mit verschiedenen quadratischen Operatoren wie zB

$$\int \mathcal{D}\phi e^{i\int_0^T dt \Big((\partial_t\phi)^2-m^2\phi^2\Big)}$$ was Ihnen einen Propagator für einen harmonischen Oszillator geben wird. Dann können Sie Ihre Fähigkeiten auf QFT-Pfadintegrale mit einem quadratischen Operator anwenden und feststellen, dass Sie eine sehr einfache Verallgemeinerung der üblichen Gaußschen Integralformel erhalten.