Vakuumerwartungswert zeitlich geordneter Funktionen in QED

Question

Vakuumerwartungswert zeitlich geordneter Funktionen in QED

Student

Ich wurde gebeten, die Fourier-Transformation der Zweipunkt-EM-Stromfunktion zu nehmen

G_{μ v} (X) = ⟨ Ω | T {J_{μ} (X) J_{v} (0)} | Ω ⟩,

$G_{\mu \nu}(x) = \langle \Omega \lvert T\{J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) \} \rvert \Omega \rangle,$ und um etwas Bestimmtes über das Ergebnis zu beweisen.

Allerdings habe ich Probleme mit folgendem. Soll ich rechnen

⟨ Ω | T {J_{μ} (X) J_{v} (0)} | Ω ⟩ = \frac{\int D ψ D \bar{ψ} J_{μ} (X) J_{v} (0) e^{ich S [ψ, \bar{ψ}]}}{\int D ψ D \bar{ψ} e^{ich S [ψ, \bar{ψ}]}},

$\langle \Omega \lvert T\{J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) \} \rvert \Omega \rangle =\frac{\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} J_{\mu}(x) J_{\nu}(0) e^{iS[\psi, \bar{\psi}]}}{\int \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\bar{\psi} e^{iS[\psi, \bar{\psi}]}},$ oder gibt es einen besseren ansatz? Mir ist bewusst, dass der Vakuumerwartungswert auch berechnet werden könnte, indem die funktionale Ableitung der erzeugenden Funktion genommen wird, aber diese Ableitungen sind in Bezug auf die Quellen zu nehmen, und ich bin mir nicht sicher, ob ich in diesem Fall die nehmen sollte funktionale Ableitung in Bezug auf die Felder

A_{μ} (x)

$A_{\mu}(x)$ Und

A_{ν} (0)

$A_{\nu}(0)$ .

Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

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Vakuumerwartungswert zeitlich geordneter Funktionen in QED

Prof. Legolasov · Answer 1

Es gibt einen Unterschied zwischen einer Quelle des Quantenfelds im Pfadintegralformalismus und einem Stromoperator, obwohl sie mit demselben Buchstaben bezeichnet werden $J_{\mu}$ . In dieser Antwort $J_{\mu}$ ist der aktuelle Betreiber.

Also wollen wir rechnen $\left< J_{\mu} (x) J_{\nu} (y) \right>$ . Als erstes muss die Definition des E/M-Stromoperators eingefügt werden. Dies hängt natürlich davon ab, welche geladenen Teilchen in Ihrer Theorie vorhanden sind. Im Fall von Spinoren ist es gegeben durch

J_{μ} (X) = ich e \bar{ψ} (X) γ^{μ} ψ (X) .

$J_{\mu} (x) = i e \, \bar{\psi} (x) \, \gamma^{\mu} \, \psi (x).$

Jetzt muss gerechnet werden

⟨ J_{μ} (X) J_{v} (j) ⟩ = \int D ψ D \bar{ψ} e^{ich S [\bar{ψ}, ψ]} J_{μ} (X) J_{v} (j),

$\left< J_{\mu} (x) J_{\nu} (y) \right> = \int D\psi D\bar{\psi} e^{i S[\bar{\psi}, \psi]} J_{\mu} (x) J_{\nu} (y),$

wobei ich mir erlaubt habe, den Normierungsfaktor im Nenner wegzulassen.

Stecken Sie Ihren Ausdruck für $J_{\mu} (x)$ und verwende Wicks Theorem! Am Ende haben Sie drei Begriffe.

Die ersten beiden Terme enthalten die Spur von Produkten von Fermionenpropagatoren. Mit einem Fermionenpropagator meine ich

⟨ {\bar{ψ}}^{A} (X) ψ_{B} (j) ⟩ = S_{B}^{A} (X - j) .

$\left< \bar{\psi} ^a (x) \psi_b (y) \right> = S^a_{\;b}(x-y).$

Der dritte Begriff enthält $S(0)^2$ . Dieser Begriff ist singulär und soll durch Neudefinition des Quantenoperators künstlich entfernt werden $J_{\mu}$ wie normal bestellt.

Ich hoffe das hilft.

Vakuumerwartungswert zeitlich geordneter Funktionen in QED

Student

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Prof. Legolasov

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