Vakuum-zu-Vakuum-Übergangsamplitude unter Verwendung eines funktionalen Integrals

Die Vakuum-zu-Vakuum-Übergangsamplitude für ein freies Teilchen mit Quelle$J$wird von gegeben

$$Z_0[J]=\int D\phi \mathrm{exp}\{-i\int [\frac{1}{2}\phi(\square +m^2-i\epsilon)\phi-\phi J]d^4x\}$$ Lassen $P=\square+m^2-i\epsilon$, dann ist der Integrand im Exponenten grundsätzlich eine quadratische Form in Bezug auf $\phi$. Wenn wir das Quadrat vervollständigen und das innere Produkt verwenden, das für reelle Felder von definiert ist $$(f,g)=\int d^4xfg,$$ dann haben wir (putting $\bar{\phi}=P^{-1}J$) $$\begin{equation*} \begin{split} Z_0[J]&=\int D\phi\mathrm{exp}\{-[\frac{i}{2}(\phi-\bar{\phi},P(\phi-\bar{\phi}))+\frac{i}{2}(\bar{\phi},J)-i(J,\bar{\phi})]\}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}(iP)}}\int D\phi\mathrm{exp}\{\ \frac{i}{2}(P^{-1}J,J)-i(J,P^{-1}J)\}\\ &=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}(iP)}}\int D\phi\mathrm{exp}\{\ \frac{i}{2}\int JP^{-1}Jd^4x \}, \end{split} \end{equation*}$$ was sich offensichtlich von dem in Ryder gezeigten korrekten Ergebnis unterscheidet. Die Differenz ist die Integration nach dem bestimmenden Term. Zu Ihrer Information sollte dieser Begriff sein $$\int D\phi \mathrm{exp}\{-\frac{i}{2}\int J(x)\Delta_F(x-y)J(y)d^4xd^4y\},$$ Wo $\Delta_F$ist der Feynman-Propagator. Könnte also jemand helfen, meine Ableitung zu debuggen, sehr geschätzt.