Warum die Vakuum-zu-Vakuum-Amplitude?

Betrachten Sie zum Vergleich einen einfachen harmonischen Oszillator. In diesem System haben wir Operatoren$a$Und$a^\dagger$befriedigend$[a,a^\dagger]=1$, und der Hamiltonoperator ist$H=\omega a^\dagger a$. Wir können den Vakuumzustand definieren$|0\rangle$der Zustand niedrigster Energie, und wir können diesen Zustand expliziter als denjenigen beschreiben, der erfüllt$a|0\rangle=0$.

Betrachten Sie wiederum zum Vergleich das Modell eines freien Skalarfelds. Schematisch ist der Hamiltonoperator$H\sim \int dx\ \big(\nabla\phi(x)\big)^2+m^2\phi^2(x)$, und die zeitgleiche Kommutierungsrelation ist$[\phi(x),\dot\phi(y)]\sim\delta(x-y)$. Wenn wir wieder den Vakuumzustand definieren$|0\rangle$der Zustand niedrigster Energie sein soll, dann können wir Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren definieren$a^\dagger(p)$Und$a(p)$, explizit ausgedrückt in Begriffen von$\phi(x)$, so dass der Vakuumzustand erfüllt ist$a(p)|0\rangle=0$. Wir können auch Zustände mit einer bestimmten Anzahl von Teilchen konstruieren, indem wir mit dieser Anzahl von Erzeugungsoperatoren auf den Vakuumzustand einwirken, was wiederum explizit in Form der Feldoperatoren ausgedrückt werden kann, die verwendet wurden, um das Modell überhaupt zu definieren.

In den meisten interessanten QFTs wissen wir nicht, wie das geht. Wir definieren das Modell immer noch in Bezug auf Feldoperatoren, indem wir ihre Kommutierungsbeziehungen und den Hamilton-Operator spezifizieren, und wir können den Vakuumzustand immer noch als den Zustand niedrigster Energie definieren, aber wir wissen nicht, wie wir den Vakuumzustand charakterisieren sollen (viel weniger Zustände mit einer gegebenen Anzahl von Teilchen) auf explizitere Weise mit Hilfe der Feldoperatoren.

Wir können Ausdrücke wie betrachten$\langle 0|\phi(x)\phi(y)\cdots|0\rangle$und machen Sie einige allgemeine Argumente (wie LSZ) darüber, wie diese Vakuumerwartungswerte mit Dingen von direkterem physikalischem Interesse zusammenhängen. Mit Hilfe der Wick-Rotation können wir die Pfad-Integral-Formulierung verwenden, um Ausdrücke wie zu definieren$\langle 0|\phi(x)\phi(y)\cdots|0\rangle$ohne mehr darüber zu wissen$|0\rangle$als die Tatsache, dass es sich um den Zustand niedrigster Energie handelt. Dann können wir Informationen über innere Produkte zwischen Zuständen mit verschiedenen Teilchenzahlen durch indirekte Argumente wie LSZ extrahieren. Ich denke, das ist letztendlich der Grund, warum wir normalerweise wollen, dass die Anfangs- und Endzustände in der QFT Grundzustände sind.