Greensche Funktion im Pfadintegralansatz (QFT)

Question

Greensche Funktion im Pfadintegralansatz (QFT)

Physik
Streuung
Wegintegral
s-Matrix-Theorie
Greens-Funktionen
Quantenfeldtheorie

Jäger

Nachdem ich mich mit der kanonischen Quantisierung beschäftigt habe und mich (relativ) wohl damit fühle, habe ich mich nun mit dem Pfadintegral-Ansatz beschäftigt. Aber ganz wohl fühle ich mich damit nicht.

Ich habe das Gefühl, dass das Hauptziel des Pfad-Integral-Ansatzes darin besteht, die Green-Funktion zu berechnen:

G^{(N)} (X_{1}, \dots, X_{N}) = ⟨ 0 | T {ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{N})} | 0 ⟩ = {(\frac{1}{ich})}^{N} \frac{δ^{N} W [J]}{δ J (X_{1}) \dots δ J (X_{N})} |_{J = 0}

$\begin{equation} G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n) = \langle 0 | \mathcal{T} \{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \} |0\rangle = \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \ldots \delta J(x_n)}\biggr|_{J=0} \end{equation}$ wobei ich der Einfachheit halber das neutrale Skalarfeld betrachtet habe

ϕ

$\phi$ Und

T

$\mathcal{T}$ bezeichnet den zeitordnenden Operator. Ich habe Probleme, die physikalische Bedeutung der Funktion des Grüns zu verstehen.

Ich verstehe das für das kanonische Quantisierungsverfahren, dh wann $\phi$ ist ein Feldoperator , $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ ist der Vakuumerwartungswert. Allerdings, wenn ich es richtig verstehe, im pfadintegralen Ansatz, den wir betrachten $\phi$ ein klassisches Feld sein . Ich verstehe nicht, wie sich diese beiden unterschiedlichen Bilder reimen.

Darüber hinaus können wir für den kanonischen Quantisierungsformalismus die S-Matrix darstellen:

S_{F ich} = ⟨ F | S | ich ⟩

$\begin{equation} S_{fi} = \langle f | S | i \rangle \end{equation}$ durch Feynman-Diagramme. Andererseits für den Pfad-Integral-Ansatz, den wir zu vertreten scheinen

G^{(n)} (x_{1}, \dots, x_{n})

$G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ durch Feynman-Diagramme. Stellen diese Feynman-Diagramme für die beiden unterschiedlichen Ansätze irgendwie die gleiche Streuamplitude dar?

Grundsätzlich habe ich das Gefühl, den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen, und hoffe, dass jemand die oben beschriebenen Probleme klären kann.

PS Wir haben die LSZ-Reduktionsformel abgeleitet, und daher verstehe ich, dass wir im kanonischen Quantisierungsformalismus die S-Matrix-Elemente in Bezug auf ausdrücken können $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ . Unser Dozent sagte uns jedoch, dass niemand die LSZ-Formel wirklich für praktische Zwecke verwendet, und daher denke ich nicht, dass dies meine Fragen beantwortet.

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Greensche Funktion im Pfadintegralansatz (QFT)

JoshPhysik · Answer 1

Gute Frage; Ich erinnere mich, dass ich Stunden damit verbracht habe, dies zu verstehen, als ich zum ersten Mal QFT lernte. Gehen wir der Reihe nach auf Ihre beiden Hauptpunkte ein. Erstens, sagst du

Ich verstehe nicht, wie sich diese beiden unterschiedlichen Bilder reimen.

Lassen Sie uns skizzieren, wie Sie die beiden Bilder schrittweise verbinden. Es ist eine gute Übung, all die blutigen Details selbst durchzuarbeiten, also ermutige ich Sie, es zu versuchen!

Für jede zulässige klassische Feldkonfiguration $\varphi:\mathbb R^3\to \mathbb R$ , lassen $|\varphi,t\rangle$ bezeichnen einen Feldkonfigurations-Eigenzustand zu einer Zeit $t$ . Nämlich, $\begin{aligned} \hat{ϕ} (T, X) | φ, T ⟩ = φ (X) | φ, T ⟩ . \end{aligned}$ $\begin{align} \hat \phi(t,\mathbf x)|\varphi,t\rangle = \varphi( \mathbf x)|\varphi,t\rangle. \end{align}$ Beachten Sie besonders, dass $\hat\phi$ Und $\varphi$ sind anders. Ersteres ist eine Operator-bewertete Verteilung, die auf Raumzeit definiert ist, während Letzteres eine klassische Feldkonfiguration ist, die nur auf Raum definiert ist.
Zeigen Sie, dass gegebene zulässige klassische Körperkonfigurationen $\varphi_a,\varphi_b:\mathbb R^3\to \mathbb R$ , gibt es einen einfachen funktionalen Integralausdruck für den zeitlich geordneten Erwartungswert aus $|\varphi_a, t_a\rangle$ Zu $|\varphi_b, t_b\rangle$ des Produkts einer endlichen Folge von Feldoperatoren:
$\begin{aligned} ⟨ φ_{B}, T_{B} | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{N})] & | φ_{A}, T_{A} ⟩ \\ (⋆) & = \int_{ϕ (T_{A}, X) = φ_{A} (X)}^{ϕ (T_{B}, X) = φ_{B} (X)} D ϕ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{N}) e^{ich S_{T_{A}, T_{B}} [ϕ]} \end{aligned}$ $\begin{align} \langle \varphi_b, t_b| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]&|\varphi_a, t_a\rangle \\ &= \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]} \tag{$\star$} \end{align}$ wo wir definiert haben $\begin{aligned} S_{T_{A}, T_{B}} [ϕ] = \int_{T_{A}}^{T_{B}} D T \int D^{3} X L_{ϕ} (T) \end{aligned}$ $\begin{align} S_{t_a,t_b}[\phi] = \int_{t_a}^{t_b}dt\int d^3\mathbf x \,\mathscr L_\phi(t) \end{align}$ Und $\mathscr L_\phi$ ist die Lagrange-Dichte der Theorie.
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert auf der linken Seite von $(\star)$ kann verwendet werden, um einen entsprechenden Vakuumerwartungswert (vev) zu berechnen;
$\begin{aligned} lim_{T \to (1 - ich ϵ) \infty} \frac{⟨ φ_{B}, T | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{N})] | φ_{A}, - T ⟩}{⟨ φ_{B}, T | φ_{A}, - T ⟩} & = ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{N})] | 0 ⟩ \end{aligned}$ $\begin{align} \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty} \frac{\langle \varphi_b, t| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|\varphi_a, -t\rangle}{\langle \varphi_b, t |\varphi_a, -t\rangle} &= \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align}$ Wo $\epsilon$ ist ein "positives Infinitesimal" (nämlich man nimmt die $\epsilon\to 0$ Grenze am Ende). Das nennt man oft $i\epsilon$ Verschreibung; Beachten Sie, dass dies im Grunde ein cleverer Trick ist, um den Grundzustand aus einem allgemeinen Erwartungswert herauszurechnen.
Beachten Sie, dass die funktionale Integration auf der rechten Seite von $(\star)$ kann geschrieben werden als
$\begin{aligned} \int_{ϕ (T_{A}, X) = φ_{A} (X)}^{ϕ (T_{B}, X) = φ_{B} (X)} D ϕ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{N}) e^{ich S_{T_{A}, T_{B}} [ϕ]} = {(\frac{1}{ich})}^{N} \frac{δ^{N} Z_{T_{A}, φ_{A}, T_{B}, φ_{B}} [J]}{δ J (X_{1}) \dots δ J (X_{N})} |_{J = 0} \end{aligned}$ $\begin{align} \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi] }=\left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}$ wo wir definiert haben $\begin{aligned} Z_{T_{A}, φ_{A}, T_{B}, φ_{B}} [J] = \int_{ϕ (T_{A}, X) = φ_{A} (X)}^{ϕ (T_{B}, X) = φ_{B} (X)} D ϕ e^{ich S_{T_{A}, T_{B}} [ϕ] + ich \int_{T_{A}}^{T_{B}} \int D^{3} X J (X) ϕ (X)} \end{aligned}$ $\begin{align} Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J] = \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]+ i\int_{t_a}^{t_b}\int d^3\mathbf x\,J(x)\phi(x)} \end{align}$
Kombinieren Sie die Schritte 2-4, um das zu zeigen, wenn wir definieren
$\begin{aligned} W [J] = lim_{T \to (1 - ich ϵ) \infty} \frac{Z_{T_{A}, φ_{A}, T_{B}, φ_{B}} [J]}{Z_{T_{A}, φ_{A}, T_{B}, φ_{B}} [0]}, \end{aligned}$ $\begin{align} W[J] = \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty}\frac{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[0]}, \end{align}$ dann erhalten wir unseren gewünschten Ausdruck, der Vakuumerwartungswerte in Form von Pfadintegralen angibt: $\begin{aligned} ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{N})] | 0 ⟩ & = {(\frac{1}{ich})}^{N} \frac{δ^{N} W [J]}{δ J (X_{1}) \dots δ J (X_{N})} |_{J = 0} \end{aligned}$ $\begin{align} \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle &= \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}$

Beachte das

\begin{aligned} G^{(N)} (X_{1}, \dots, X_{N}) = ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{N})] | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} G^{(n)}(x_1, \dots, x_n) = \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align}$ ist nur eine suggestive Definition, die uns an Greens Funktionen denken lässt. Es ist suggestiv, weil zum Beispiel

G^{(2)} (x_{1}, x_{2})

$G^{(2)}(x_1, x_2)$ , die sogenannte "Zweipunktfunktion", ist die Green'sche Funktion für die entsprechende klassische Feldtheorie.

Zweitens fragen Sie

Stellen diese Feynman-Diagramme für die beiden unterschiedlichen Ansätze irgendwie die gleiche Streuamplitude dar?

Die LSZ-Reduktionsformel ist die Antwort auf die Frage, wie vevs oder äquivalent Greensche Funktionen mit den zusammenhängen $S$ -Matrix und Streuamplituden, und oben haben wir argumentiert, wie der kanonische Formalismus (der in Form von vevs formuliert ist) mit dem funktionalen Integralformalismus zusammenhängt, also haben wir herausgefunden, wie der funktionale Integralformalismus es uns ermöglicht, die zu berechnen $S$ -Matrix. In der Praxis sieht man zwar nicht, dass Leute explizit die LSZ-Reduktionsformel verwenden, aber das liegt daran, dass sie zwar konzeptionell der Verbindung zwischen Greens Funktionen und den zugrunde liegt $S$ -Matrix, in der Praxis wurde LSZ bereits verwendet, um kodifizierte Regeln zu rechtfertigen, nämlich Feynman-Regeln, die es einem ermöglichen, direkt von Feynman-Diagrammen (die einfach Terme in den Störungserweiterungen von Feynman-Integralen darstellen) zu Streuamplituden zu gelangen.

Greensche Funktion im Pfadintegralansatz (QFT)

Jäger

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JoshPhysik

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