Was sind die Unterschiede (falls vorhanden) zwischen der Dyson-Seriendefinition und der "in / out" -Definition der SSS-Matrix?

Question

Was sind die Unterschiede (falls vorhanden) zwischen der Dyson-Seriendefinition und der "in / out" -Definition der SSS-Matrix?

Physik
Streuung
s-Matrix-Theorie
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie

pppqqq

So lange habe ich in meinen QFT-Kursen zwei Definitionen von gesehen $S$ -Matrix:

Die erste, elementarere Definition ist im Interaktionsbild gegeben:

S = T {\exp [- ich \int D^{4} X H_{int}^{ICH} (X)]} (1),

$S=\text T \lbrace \exp [-i\intop \text d ^4 x \,\mathscr H_{\text {int}} ^I(x)]\rbrace\qquad (1),$ wo die Betreiber

H_{int}^{I}

$\mathscr H _\text{int} ^I$ ist die im Wechselwirkungsbild ausgewertete Wechselwirkungs-Hamilton-Dichte. Nach dieser Definition ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude für einen Zustand mit In-Asymptote

| α ⟩

$\vert \alpha \rangle$ in einen Zustand mit Out-Asymptote zu streuen

| β ⟩

$\vert \beta \rangle$ wird gegeben von:

S_{β a} = ⟨ β | S | a ⟩ (2) .

$S_{\beta \alpha}=\langle \beta \vert S \vert \alpha \rangle \qquad (2).$

Die zweite Definition bezieht sich auf asymptotische Ein-/Aus-Zustände:

S_{β a} = ⟨ β aus | a In ⟩ (3) .

$S_{\beta \alpha}=\langle\beta \,\text {out} \vert \alpha \,\text {in}\rangle \qquad (3).$

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik verstehe ich, wie diese beiden Definitionen zusammenhängen, da man dort die Amplitude der Streuung einer ebenen Welle schreiben kann $\vert \mathbf k \rangle$ zu einer ebenen Welle $\vert \mathbf p \rangle$ als:

S_{P \leftarrow k} = ⟨ P | S | k ⟩ = ⟨ P - | k + ⟩,

$S_{\mathbf p \leftarrow \mathbf k } =\langle \mathbf p \vert S \vert \mathbf k \rangle=\langle \mathbf p -\vert \mathbf k +\rangle,$ Wo

| k \pm ⟩

$\vert \mathbf k \pm\rangle$ sind die „in“- und „out“-Lösungen der Lippmann-Schwinger-Gleichung oder verallgemeinerte Eigenfunktionen des vollständigen Hamilton-Operators.

Ich schätze also (korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege), dass die Zustände "in" und "out" in QFT die Analoga von sind $\vert \mathbf k \pm \rangle$ in Potentialstreuung, und das kann man tatsächlich zeigen $\vert \{\mathbf p_i\}\, \text {in/out}\rangle$ sind Eigenzustände der wechselwirkenden Felder Hamiltonsch.

Diese "In/Out"-Zustände werden jedoch auf recht formale Weise konstruiert, über ad-hoc konstruierte asymptotische In/Out-Felder, und ich verstehe wirklich nicht, wie diese Definition funktioniert $(3)$ sollte sich auf das Elementarere beziehen $(1)$ .

Nur zur Verdeutlichung: Ich verstehe die physikalische Idee hinter der Konstruktion von "in / out" -Feldern und wahrscheinlich, wenn ich def nicht gesehen hätte. $(1)$ , würde ich akzeptieren $(3)$ so wie es steht. Ich verstehe jedoch die mathematische Beziehung zwischen (1) und (3) nicht:

Stimmen sie zu?
Stimmen sie einer Phase zu?
Stimmen sie zu, wenn eine Annahme wie eine "adiabatische Hypothese" gemacht wird?
Wie kann ich das formell nachweisen?

Jede Hilfe / Gedanke wäre willkommen, danke für die Aufmerksamkeit.

Prahar

Lesen Sie Weinberg Bd. 1 Kapitel 3. Er definiert die S-Matrix unter Verwendung Ihrer Gleichung (3) in Gl. (3.2.1) und dann in Abschnitt 3.5 zeigt, dass dies äquivalent zu Ihrer Gleichung (1) in Gl. (3.5.10).

Antworten (2)

Was sind die Unterschiede (falls vorhanden) zwischen der Dyson-Seriendefinition und der "in / out" -Definition der SSS-Matrix?

Lesen Sie Weinberg Bd. 1 Kapitel 3. Er definiert die S-Matrix unter Verwendung Ihrer Gleichung (3) in Gl. (3.2.1) und dann in Abschnitt 3.5 zeigt, dass dies äquivalent zu Ihrer Gleichung (1) in Gl. (3.5.10).

Nogueira · Answer 1

Die In- und Out-Zustände sind als Lösungen der Lippmann-Schwinger-Gleichung definiert , wobei die entsprechende Randbedingung durch die Wahl der Kontur ( $\pm \varepsilon$ ).

| ψ_{A}^{(\pm)} ⟩ = | ϕ_{A} ⟩ + \frac{1}{E - H_{0} \pm ich ϵ} v | ψ_{A}^{(\pm)} ⟩

$| \psi^{(\pm)}_a \rangle = | \phi_a \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)}_a \rangle$ Rechnet man die

S_{a b} = ⟨ ψ_{b}^{-} | ψ_{a}^{+} ⟩

$S_{ab}=\langle \psi_b^-|\psi^+_a\rangle$ Sie werden eine rekursive Beziehung für die S-Matrix finden.

S_{A B} = δ (A - B) - 2 ich π δ (E_{A} - E_{B}) T_{A B} .

$S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)T_{ab}.$

T_{A B} = v_{A B} + \int D C \frac{v_{C B} T_{A C}}{E_{A} - E_{C} + ich ε}

$T_{ab}=V_{ab}+\int dc\frac{V_{cb}T_{ac}}{E_a-E_c+i\varepsilon}$

T_{A B} = ⟨ ϕ_{B} | v | ψ_{A}^{(\pm)} ⟩

$T_{ab} = \langle \phi_b |V|\psi^{(\pm)}_a \rangle$

v_{A B} = ⟨ ϕ_{B} | v | ϕ_{A} ⟩

$V_{ab} = \langle \phi_b |V|\phi_a \rangle$ Wenn Sie diese rekursive Beziehung immer wieder wiederholen, bleibt eine Reihe übrig. Diese Reihe kann mit einer zeitlichen Reihenfolge der gewünschten Exponentialfunktion identifiziert werden, wenn Sie diese verwenden:

\frac{1}{E_{B} - E_{C} + ich ϵ} = - ich \int_{0}^{\infty} D T \exp [ich (E_{B} - E_{C}) T - ε T]

$\frac{1}{E_b - E_c + i \epsilon}=-i\int_0^{\infty} dt \exp\left[{i(E_b-E_c)t -\varepsilon t}\right]$ Dann sehen Sie vielleicht, dass adiabatische Ein- und Ausschaltwechselwirkungen dasselbe sind wie das Setzen der

\pm i ε

$\pm i\varepsilon$ in der Schwinger-Lippmann-Gleichung, dh das Auferlegen der Existenz von Ein- und Ausstreuungszuständen.

Beim LSZ-Ansatz gehen wir zu einer anderen Wurzel. Wir haben bereits einen formalen Hamiltonian (die QFT-Theorie). Streuzustände könnten aus diesem Hamiltonian aufgebaut werden, indem nach langlebigen Zuständen mit einer gewissen Dipersionsbeziehung gesucht wird. Mathematisch sind sie Pole der Zweipunkt-Korrelationsfunktion. Der $Z$ ist nur erforderlich, wenn Sie mit diesen fundamentalen Feldern innerhalb der Hamiltonfunktion arbeiten möchten, wie den Feldern in der Korrelationsfunktion. Dann müssen Sie davon ausgehen, dass das Feld andere Zustände erzeugt und zerstört als die streuenden.

Hinter all diesen Ansätzen steckt die adiabatische Annahme. Hängt letztlich damit zusammen, dass Streuzustände existieren, die sich wie ein freies Teilchen verhalten. Der Unterschied besteht darin, dass Sie beim Lippmann-Schwinger-Ansatz asymptotische physikalische Teilchen haben und beim LSZ selbstwechselwirkende bloße Teilchen, die zu einem physikalischen Teilchen führen.

Liebe Nogueira, danke. Ich habe kürzlich Weinberg gelesen und verstehe jetzt, dass dies der Teil des Formalismus ist, der derselbe ist wie in NRQM. Allerdings muss ich noch etwas herausfinden: Wenn man die "in / out" -Zustände als diejenigen definiert, die von "in / out" -Feldern erzeugt werden, die selbst durch die schwache Konvergenzbedingung definiert sind (schematisch: $\sqrt Z \phi (t) \to \phi _{\text{as}}(t)$ ), wie sieht er/sie, dass dies mit der von Ihnen erwähnten Definition der Lippmann-Schwinger-Gleichung übereinstimmt?
Teilweise Selbstantwort und Klärung der Frage: Naiv gesprochen scheint es mir, dass es möglich sein sollte, den gesamten Formalismus durch Erfordernis einer starken Konvergenz einzurichten, wenn der Formalismus der Dyson-Reihe streng äquivalent zu einer adiabatischen Abschaltung ist $\phi (t) \to \phi _{\text {as}} (t)$ (das heißt, wenn die $V$ adiabatisch abgeschaltet wird, wird das wechselwirkende Feld frei im Sinne starker Konvergenz). Wenn wir jedoch das LSZ-Ding machen, erhalten wir eine Renormierungskonstante $Z$ das taucht nirgendwo in der formellen Dyson-Serie auf. [...]
[...] Natürlich wird man auch beim Dyson-Reihen-Ansatz irgendwann die zwangsläufig auftretenden unendlichen Diagramme renormieren müssen. Die Frage sollte also vielleicht lauten: Sind die LSZ- und Dyson/Lippmann-Schwinger-Ansätze zwei verschiedene Renormierungsschemata, von denen man einfach erwartet (und herausfindet), dass sie für jene Berechnungen übereinstimmen, bei denen die adiabatische Abschaltung physikalisch irrelevant sein sollte (insbesondere , keine gebundenen Zustände)? Oder gibt es andererseits einen rigorosen mathematischen Beweis für die Äquivalenz der beiden Ansätze?
@pppqqq Der Dyson / Lippamann-Schwinger-Ansatz macht keine Annahmen über die innere Struktur des Hamiltonian, die genaue Theorie. Die einzige Annahme in diesem Ansatz betrifft die Existenz des Streuzustands mit einer gewissen Dispersionsbeziehung, die durch beschrieben wird $H_0$ , der unbeirrte Hamiltonianer. Diese Annahme könnte in die Tatsache übersetzt werden, dass der interagierende Hamiltonian $V=H-H_0$ ist adiabatisch ein- und auszuschalten. Das sieht man an der Gl. das betrifft $\left(\Delta E +i\varepsilon\right)^{-1}$ mit dem Exponential.
Vielen Dank! Ich muss eine Weile darüber nachdenken, bevor ich die Antwort akzeptiere.
Ich empfehle Ihnen, das Kapitel 8 des Buches Taylor's Scattering Book zu lesen . Speziell der T-Operator 8-c. und die Beziehung mit dem Möller-Operator 8-d., an diesen Stellen werden Sie den Grund finden, "Dämpfung" in das Potential zu setzen.
Ich kenne Taylors Buch und es ist großartig, besonders für konzeptionelle Fragen. Vielen Dank und @Prahar für die netten Vorschläge.

pppqqq · Answer 2

Nogueiras Antwort war wirklich hilfreich, ich wollte nur ein paar Bemerkungen im Nachhinein hinzufügen.

Als ich diese Frage schrieb, war eines der Dinge, die mich verwirrten, dass ich nicht sehen konnte, wie die "in" - und "out" -Zustände, die man in der formalen Streutheorie definiert, z. B. über die Lippmann-Schwinger-Gleichung (siehe Nogueiras Antwort) , würde mit den Zuständen übereinstimmen, die durch die "in" - und "out" -Felder aus dem Vakuum erzeugt werden, z. B.:

| P In ⟩ = ich \int D^{3} X F_{P}^{*} (X) \overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}} ϕ_{In} (X) | 0 ⟩ .

$\vert \mathbf p \text { in}\rangle=i\intop \text d^3{\mathbf x} f_{\mathbf p }^* (x) \overleftrightarrow {\partial _0} \phi _{\text {in}}(x)\vert 0 \rangle.$

Definiert man das „in“-Feld für den skalaren Fall über die Linearkombination:

ϕ_{In} (X) = \int D^{3} P {A_{In} (P) F_{P} (X) + hc},

$\phi _{\text {in}}(x)=\intop \text d ^3\mathbf p \lbrace a_{\text {in}}(\mathbf p )f_{\mathbf p}(x)+\text {h.c.}\rbrace,$ und wiederum definiert

a (p)

$a(\mathbf p )$ als Zerstörungsoperator für die "in"-Zustände, dann ist die Entsprechung tautologisch.

Einige Texte (z. B. Bjorken & Drell) beginnen jedoch mit "in" - und "out" -Operatoren, die durch die Yang-Feldman-Gleichungen definiert sind:

ϕ_{In} (X) = ϕ (X) - \int D^{4} j Δ_{R} (X - j) J (j),

$\phi _{\text{in}}(x)=\phi (x)-\intop \text d ^4 y \Delta _{R}(x-y)j(y),$ Wo

Δ_{R}

$\Delta _R$ ist die verzögerte Green-Funktion für die Klein-Gordon-Gleichung und

ϕ

$\phi$ ist das (renormierte) Wechselwirkungsfeld, das erfüllt:

(◻ + M^{2}) ϕ = J .

$(\square +m^2)\phi =j.$ In diesem Fall ist die Korrespondenz nicht sofort offensichtlich, da man beweisen muss, dass Wellenpakete aus konstruiert sind

ϕ_{in}

$\phi _{\text {in}}$ konvergieren tatsächlich (zumindest schwach) zu freien Staaten.

Genau diese Fragen werden in einem alten Artikel von Schweber S., „ Über den Yang-Feldman-Formalismus “, und auch (leichter zu lesen) in seinem Buch „Einführung in die Quantenfeldtheorie“, Kap. 17d, wo er das in-Feld durch definiert

ϕ_{In} (X) = e^{ich H T} Ω^{+} ϕ (X, 0) (Ω^{+})^{†} e^{- ich H T},

$\phi _{\text {in}}(x)=e^{iHt}\Omega^+ \phi (\mathbf x ,0)(\Omega ^+)^\dagger e^{-iHt},$ und beweist, dass es die Yang-Feldman-Gleichung erfüllt.

Was sind die Unterschiede (falls vorhanden) zwischen der Dyson-Seriendefinition und der "in / out" -Definition der SSS-Matrix?

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Prahar

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Nogueira

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Der Widerspruch zwischen dem Gell-mann-Low-Theorem und der Identität des Møller-Operators HΩ+=Ω+H0HΩ+=Ω+H0H\Omega_{+}=\Omega_{+}H_0

Gibt es ein Analogon der LSZ-Reduktionsformel in der Quantenmechanik?

Wie beweist man die Äquivalenz zweier verschiedener Definitionen des SSS-Operators?

Welchen Sinn hat die Einführung des Erzeugungsfunktionals in die Summanden der Erweiterung der S-Matrix?

S-Matrix in Weinberg QFT

Nackte Masse zu physikalischer Masse im Grenzfall verschwindender Wechselwirkung als t→±∞t→±∞t\rightarrow \pm\infty

Was bedeutet eigentlich, Dinge auf Baumebene zu berechnen?

Wie können wir ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)ψ(r)→ψin(r)+ψsc(r)\psi(\textbf{r})\to\psi_{in}(\ textbf{r})+\psi_{sc}(\textbf{r}) bei |r|→∞|r|→∞|\textbf{r}|\to \infty aber nicht bei endlichem |r||r| |\textbf{r}|?

Querschnitte und Renormierungsschema

Warum gibt es eine Zeitabhängigkeit in den Heisenberg-Zuständen der Haag-Ruelle-Streutheorie?