Gibt es ein Analogon der LSZ-Reduktionsformel in der Quantenmechanik?

In QFT ist die LSZ-Formel ein Werkzeug, um die S-Matrix aus der Korrelationsfunktion zu erhalten. In QFT ist die Korrelationsfunktion sehr einfach zu berechnen (freie und interagierende Theorien). Wenn ausgehende Partikel auf der Schale wurden, können wir das S-Matrix-Element mit der Korrelationsfunktion in Beziehung setzen. I QM Alle Partikel sind immer auf der Schale. Im nicht-relativistischen Grenzbereich sollte die Streumatrix (Amplitude) mit der Born-Näherung verglichen werden. Wenn wir also die Fourier-Transformation durchführen$i \cal{M}$(nicht-relativistische Grenze) zurück in den Ortsraum, dann können wir das Verhalten des Potentials sehen.

Wenn wir in QM die Korrelationsfunktion berechnen können, können wir leicht das S-Matrix-Element erhalten. Die Berechnung der Korrelationsfunktion ist im QM nicht einfach. Andererseits ist die Berechnung des S-Matrix-Elements in der Born-Näherung sehr einfach.

Aber wir können eine Aktion schreiben, bei der die Schrödinger-Gleichung nur die Bewegungsgleichung dieser Aktion ist.

$$S = \int_{xt} \psi^\dagger \left(i{\partial \over \partial t} + {\nabla^2\over 2m}\right)\psi - \psi^\dagger(x) \psi(x) V(x).$$ Danach können wir den üblichen Trick anwenden, indem wir funktional generieren. Nach der funktionalen Ableitung nach Strom ( $J$), können wir die Korrelationsfunktion finden. $${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i(S[\phi ]+\int d^{d}xJ(x)\phi (x))}~,}$$ Natürlich unterscheiden sich Propagatoren in QM im Vergleich zu QFT. Auf diese Weise können wir das S-Matrix-Element mithilfe der Korrelationsfunktion finden.

In der Quantenmechanik ist die LSZ-Formel also nicht von großem Nutzen. Aber wir können die übliche LSZ-Formel nehmen und in die nicht-relativistische Grenze gehen.