Der Widerspruch zwischen dem Gell-mann-Low-Theorem und der Identität des Møller-Operators HΩ+=Ω+H0HΩ+=Ω+H0H\Omega_{+}=\Omega_{+}H_0

Diese Frage ergibt sich aus dem Lesen des Beweises von Gellmann Low thörem .

H = H 0 + H ICH , lassen | ψ 0 ⟩ ein Eigenzustand von sein H 0 mit Eigenwert E 0 , und betrachten Sie den Zustandsvektor, der als definiert ist

| ψ ϵ ( − ) ⟩ = U ϵ , ICH ( 0 , − ∞ ) | ψ 0 ⟩ ⟨ ψ 0 | U ϵ , ICH ( 0 , − ∞ ) | ψ 0 ⟩
wo die Definition von U ϵ , ICH ( 0 , − ∞ ) finden Sie in obigem Papier

Satz von Gell-Mann und Low: Wenn die | ψ ( − ) ⟩ := lim ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ bestehen dann | ψ ( − ) ⟩ muss ein Eigenzustand von sein H mit Eigenwert E . Und der Eigenwert E wird durch folgende Gleichung entschieden:

Δ E = E − E 0 = − lim ϵ → 0 + ich ϵ G ∂ ∂ G ln ⁡ ⟨ ψ 0 | U ϵ , ICH ( 0 , − ∞ ) | ψ 0 ⟩

Wir lernen jedoch in der Streutheorie,

U ICH ( 0 , − ∞ ) = lim ϵ → 0 + U ϵ , ICH ( 0 , − ∞ ) = lim T → − ∞ U F u l l ( 0 , T ) U 0 ( T , 0 ) = Ω +
Wo Ω + ist der Møller-Operator. Wir können die Identität des Møller-Betreibers nachweisen H Ω + = Ω + H 0 in der Streutheorie. Es besagt, dass sich die Energie des Streuzustands nicht ändert, wenn Sie die Wechselwirkung adiabatisch einschalten.

Meine Frage:

1. Die einzige Möglichkeit, diesen Widerspruch zu vermeiden, besteht darin, dies zu beweisen Δ E für den Streuzustand von H 0 muss Null sein. Wie zu beweisen? Im Allgemeinen sollte es so sein, dass es für den Streuzustand keine Energieverschiebung geben wird, für den diskreten Zustand wird es eine gewisse Energieverschiebung geben. Aber das Gell-Mann-Low-Theorem sagt mir nicht das Ergebnis.

2. Es scheint, dass das Gell-Mann-Low-Theorem mächtiger ist als das adiabatische Theorem, das erfordert, dass es eine Lücke um den sich entwickelnden Eigenzustand geben muss. Und das Gell-Mann-Low-Theorem kann auf jeden Eigenzustand von angewendet werden H 0 egal ob der Zustand diskret, stetig oder entartet ist und egal ob es während der Evolution einen Bahnübergang gibt. Doch die Existenz von lim ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ ist ärgerlich, was die Anwendung dieses Theorems stark einschränkt. Gibt es ein Kriterium für die Existenz von lim ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ ? Oder geben Sie mir ein explizites Beispiel, in dem dies nicht existiert.

3. Es scheint, dass das Gell-Mann-Low-Theorem ein verallgemeinertes adiabatisches Theorem ist, das im diskreten Spektrum oder im kontinuierlichen Spektrum verwendet werden kann. Wie man das Gell-Mann-Low-Theorem beweist, kann unter der Bedingung des Adiabaten-Theorems zum Adiabaten-Theorem zurückkehren. Muss beweisen, dass die lim ϵ → 0 + | ψ ϵ ( − ) ⟩ existieren angesichts der Forderung des Adiabatensatzes.

@ 346699 Beim Lesen Ihrer Frage habe ich den Eindruck, dass die beiden Theoreme zusammen den Beweis liefern, dass die G ∂ / ∂ G ln ⁡ ⟨ … ⟩ kann nicht auseinander gehen 1 / ϵ , also in der Tat E = E 0 . Nun scheinen Sie dies abzulehnen: Was ist der Grund für die Ablehnung? Haben Sie eine bessere oder unabhängige Quelle der Intuition oder einen Grund zu glauben, was G ∂ / ∂ G ln ⁡ ⟨ … ⟩ sollte stattdessen für Streuzustände sein? Wenn nicht, würde ich die Konsequenz akzeptieren, die die beiden Theoreme für Streuzustände implizieren.
Sie sind auf einen sehr kniffligen und technischen Punkt gestoßen. Lesen Sie Kapitel 9 in: books.google.fr/… und Sie werden die Antwort finden. Im Allgemeinen (wie oben erwähnt) verschiebt die GML-Formel die Energien nur diskreter Zustände, und somit wird die Konsistenz wiederhergestellt.

Antworten (2)

Das Gell-Mann-Low-Theorem gilt nur für Eigenvektoren, dh für den diskreten Teil des Spektrums. Daher gilt es nicht für streuende Zustände. Letztere sind keine Eigenvektoren, da sie nicht normierbar sind. Ihre Formel für Δ E ist für sie bedeutungslos, da das Skalarprodukt auf der rechten Seite im Allgemeinen undefiniert ist, es sei denn ψ 0 ist normalisierbar.

[Die Gleichung für den Moeller-Operator] „sagt, dass sich die Energie des Streuzustands nicht ändert, wenn Sie die Wechselwirkung adiabatisch einschalten.“ Nein. Sie sagt nur das H Und H + muss das gleiche Gesamtspektrum haben; es sagt nichts über Energien einzelner Streuzustände aus.

Darüber hinaus zeigt eine strengere Behandlung (z. B. in der mathematisch-physikalischen Abhandlung von Thirring), dass Ihre Gleichung bestenfalls auf dem Unterraum orthogonal zum diskreten Spektrum (das fast immer Energieverschiebungen aufweist) gilt und dass bestimmte Annahmen (relativ kompakte Störungen) müssen Seien Sie zufrieden, dass es an dieser Projektion festhält. Diese Annahmen sind nicht erfüllt, wenn das kontinuierliche Spektrum von H Und H 0 nicht identisch ist, zB wann H 0 ist für ein freies Teilchen und H für einen harmonischen Oszillator oder einen Morse-Oszillator oder umgekehrt.

Die zweite und dritte Aussage scheinen ohne weitere Annahmen nicht unbedingt wahr zu sein: Wenn man das triviale Beispiel nimmt H 0 = H ich , dann ändern sich die Eigenzustände nicht, es gibt weder mehr noch weniger Eigenzustände, und sogar das kontinuierliche Energiespektrum ändert sich: Alle Energien werden mit multipliziert 1 + e − ϵ | T | .

Es sagt H ich kann als Störung angesehen werden, verglichen mit H 0 .
Was genau soll das bedeuten? Wenn es nur "klein" bedeutet, könnte man es genauso gut nehmen H ich = ϵ 2 H 0 mit ϵ 2 eine sehr kleine Zahl. Dann gilt das gleiche Argument, außer dass die Energien um skaliert werden 1 + ϵ 2 e − ϵ | T | . Vielleicht bedeutet das Papier eine bestimmte Form der Interaktion - wie eine Kombination von mindestens 3 Vernichtungs- oder Schöpfungsoperatoren? Vielleicht gelten die Aussagen nur für die Störungstheorie erster Ordnung?
In QM ist der Interaktionsterm nicht proportional zu H 0
Der obige Spruch ist vielleicht nicht streng formuliert, aber ich finde ihn richtig. Weil 1 das Gell-Mann-Low-Theorem sagt und 2 das Lippmann-Schwinger-Theorem sagt. Das Problem ist jedoch, dass wir beim Beweis des Lippmann-Schwinger-Theorems angenommen haben, dass sich die Energie des kontinuierlichen Spektrums nicht verschiebt. Und wenn wir das Gell-Mann-Low-Theorem beweisen, haben wir angenommen, dass es eine Energieverschiebung für das diskrete Spektrum geben wird.
Ich habe meine Frage korrigiert, hast du eine Idee? Danke.
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