Was bedeutet eigentlich, Dinge auf Baumebene zu berechnen?

Angenommen, Sie möchten eine Korrelation beispielsweise in einer euklidischen Signatur berechnen

$$\frac{1}{Z}\int D\phi\ \prod_i \phi(x_i)\ \exp\left(-\frac{1}{\hbar}S(\phi)\right)$$ mit $$S(\phi)=\frac{1}{2}(\phi,A\phi)+g\int dx\ \phi(x)^4$$ Wo $(\phi,A\phi)=\int\ dx\ dy\ \phi(x)A(x,y)\phi(y)$für einige "Matrix" oder eher Kernel $A$. Das macht man normalerweise, indem man das Funktionsintegral as erweitert $$\int D\phi\ \prod_i \phi(x_i)\ \exp\left(-\frac{1}{\hbar}S(\phi)\right)= \sum_{N=0}^{\infty} \int D\phi\ e^{-\frac{1}{2}(\phi,\frac{1}{\hbar}A\phi)} \prod_i \phi(x_i)\ \times \left(-\frac{g}{\hbar}\int dx\ \phi(x)^4\right)^N$$ und unter Verwendung des Isserlis-Wick-Theorems. Die Kontraktionen beinhalten die Kovarianz oder die Umkehrung des Operators im freien quadratischen Teil $$C=\left(\frac{1}{\hbar}A\right)^{-1}=\hbar \times A^{-1}\ .$$ Also, wenn Sie Potenzen von zählen $\hbar$du erhältst $\hbar^{E-V}$Wo $E$ist die Anzahl der Kanten und $V$ist die Anzahl der inneren Scheitelpunkte. Für einen zusammenhängenden Graphen (der Einfachheit halber im Fall eines Vakuumdiagramms) hat man die Beziehung vom Euler-Poincaré-Typ $$E-V=L-1$$ Wo $L$ist die Anzahl der unabhängigen Schleifen. Also die Kraft von $\hbar$was erscheint ist $\hbar^{L-1}$die also Schleifen zählt. Die niedrigste Ordnung ist wann $L=0$Und $E=V-1$, dh wenn der Graph ein Baum ist.

Im Prinzip wollen Sie in QFT den Einheitszeitentwicklungsoperator des Wechselwirkungsbildes berechnen. Dann können Sie den Operator verwenden, um Quantenzustände zu entwickeln, genau wie Sie es in der normalen Quantenmechanik tun würden. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie richten Ihren Teilchenbeschleuniger so ein, dass er einen bestimmten Zustand erzeugt$|i\rangle$zu einer Zeit$t_0$, und dann nach einiger Zeit$t_1 - t_0$vergangen ist, möchten Sie wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich zu einem Zustand entwickelt hat$|f\rangle$, berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsamplitude:

$$\langle f|U(t_1,t_0)|i \rangle$$

Der Ausdruck für$U(t_1,t_0)$ergibt sich aus der Dyson-Formel:

$$U(t_1,t_0) = \mathcal{T}\left\{\exp\left(-i\int_{t_0}^{t_1}H_{\mathrm{int}}(t) \mathrm{d}t\right)\right\}$$

bei dem die$\mathcal{T}$steht für Time Ordering und die Expansion des Exponentials ist durch eine Dyson-Reihe gegeben, die$n$ter Term hat die Form:

$$U_{n}(t_1,t_0) = (-i)^{n}\int_{t_0}^{t_1}dt\int_{t_0}^{t}dt'\int_{t_0}^{t'}dt'' \cdots\int_{t_0}^{t^{(n-1)}}dt^{(n)}\mathcal{T}\left\{H_{\mathrm{int}}(t)H_{\mathrm{int}}(t') \cdots H_{\mathrm{int}}(t^{(n)})\right\}$$

Typischerweise hat der Hamilton-Operator vorne eine Kopplungskonstante, und so wird die Dyson-Reihe zu einer Potenzerweiterung dieser Kopplungskonstante (deren Potenz gleich der Anzahl der Scheitelpunkte im entsprechenden Feynman-Diagramm ist). Ich weiß nicht wirklich, was er mit Kräften von meint$\hbar$.

Typischerweise ist es unmöglich, das obige Integral unabhängig zu berechnen, wie Sie es in normaler QM tun würden, aber wir können ein bisschen Magie namens LSZ-Reduktionsformel verwenden, um eine Wahrscheinlichkeitsamplitude wie folgt zu schreiben:

$$\langle f|U(-\infty,\infty)|i \rangle \sim \langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\cdots\phi(x^{(b)})\phi(y)\cdots\phi(y^{(b')})\ U(-\infty,\infty)\right\}|0 \rangle$$

Wo$|0\rangle$ist der Vakuumzustand der freien Theorie,$\phi$sind die Felder und Sie haben eines für jedes Teilchen im Anfangszustand (beschriftet mit$x$) und je eine im Endzustand (beschriftet mit$y$). Ich habe einige Integrale und Konstanten ausgelassen, auf die Sie irgendwann stoßen werden, die aber für diesen groben Überblick nicht wichtig sind. Beachten Sie, dass dies nur in gilt$\pm\infty$Zeitlimit, das als "adiabatische Grenze" bezeichnet wird.

Sobald Sie dies haben, können Sie Ihre ersetzen$n$Ordnungsterm für$U$und bekomme die$n$Näherung ter Ordnung für Ihre Wahrscheinlichkeitsamplitude. Denken Sie daran, dass die$H_{\mathrm{int}}$sind typischerweise Produkte von Feldern selbst, daher ergibt das Ersetzen nur ein größeres Produkt von zeitlich geordneten Feldern (ich habe die Felder aus den Interaktionsbedingungen mit gekennzeichnet$z$):

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\cdots\phi(x^{(b)})\phi(y)\cdots\phi(y^{(b')})\phi(z)\cdots\phi(z^{(b'')})\right\}|0 \rangle$$

Dann verwenden Sie ein bisschen technische Mathematik namens Wick's Theorem, um zu zeigen, dass sich dieses Ding auf ein Produkt von Zwei-Punkt-Green-Funktionen (auch bekannt als Propagatoren) reduziert:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\cdots$$

Nun, offensichtlich gibt es mehr als eine Möglichkeit, die zu paaren$b+b'+b''$Felder, die Sie in Greens Funktionen haben, weshalb Sie mehrere Feynman-Diagramme für jede Ordnung in der Kopplungskonstante haben. Jede dieser Green-Funktionen im Produkt entspricht einer Linie in einem Feynman-Diagramm, und jede Art, die Felder zu paaren, entspricht einem anderen Diagramm (bis hin zu Symmetriefaktoren usw.). Schleifen sind, wenn Sie Greens Funktionen erhalten, bei denen sich beide Felder am selben Raumzeitpunkt befinden:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(z)\phi(z)\right\}|0 \rangle$$

denn offensichtlich erhalten Sie eine Linie von einem Punkt zurück zu sich selbst – eine Schleife. Dies führt zu einem uneingeschränkten Impuls, da eine typische Green-Funktion die Form hat:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\phi(y)\right\}|0 \rangle = \int \mathrm{d}^{3}p\ \frac{i}{p^2 - m^2}e^{-ip(x-y)}$$

Die Exponentialfunktion reduziert sich dann auf eine Delta-Funktion, wenn Sie über die Position integrieren, sodass Sie leicht über den Impuls integrieren können, um im Wesentlichen den gewünschten Impuls auszuwählen (dies stammt von einem der Integrale, die ich zuvor ausgelassen habe). Aber falls$x=y$dann reduziert sich die Exponentialfunktion auf 1, was bedeutet, dass Ihr Impuls uneingeschränkt ist, und im Allgemeinen lässt dies auch das Integral divergent. Dies ist die Wurzel der ultravioletten Divergenzen in der QFT, und wir verwenden die Regularisierung, um bestimmte Konstanten (wie die Masse) zu renormieren und die Unendlichkeiten in nicht messbare Größen zu absorbieren.

Edit: Mir ist aufgefallen, dass Sie sagen, Sie lesen sowohl P & S als auch Schwartz. Ich kenne das Buch von Schwartz überhaupt nicht, aber in P&S leiten sie die LSZ-Reduktionsformel für Skalarfelder in Kapitel 7 ab. Es ist ziemlich aufschlussreich, es durchzusehen, weil es Ihnen ein viel besseres Verständnis für die Form der Feynman-Regeln vermittelt.

Wenngleich$\hbar$eine grundlegende physikalische Konstante ist (und Sie können sie auf 1 setzen, wenn Sie möchten), macht es dennoch Sinn, im Grenzbereich über Quantenmechanik zu sprechen$\hbar \to 0$. Physikalisch bedeutet dies, dass die typische Längenskala des Systems viel größer ist als die De-Broglie-Wellenlänge aller Teilchen, sodass Sie am Ende die klassische Mechanik mit einigen zusätzlichen Korrekturen erhalten, die wir semiklassisch nennen. Angesichts$\hbar$eine Variable, Senden$\hbar \to 0$, und das Erweitern ist nur eine bequeme mathematische Art, über diese Grenze zu sprechen.

Wie andere jedoch betont haben, werden Feynman-Diagrammerweiterungen tatsächlich in Bezug auf den Kopplungsparameter durchgeführt, den Faktor, der den Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator multipliziert. Die Erweiterung ein$\hbar$ist anders und ist eigentlich die WKB-Näherung. Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie diesen Satz aus dem Buch von Schwartz interpretieren. Auch wenn die Entwicklungen unterschiedlich sind, haben wir für den Fall, dass die Kopplung gegen Null geht, eine freie Theorie, bei der die WKB-Näherung exakt ist.

Aus diesem Grund ist es eigentlich der Kopplungsterm, der Fehler in WKB einführt, sodass Sie sich die Berechnung mit Feynman-Diagrammen bei einer bestimmten Ordnung auch als halbklassische Korrektur vorstellen können.

Physikalisch gesehen sind Diagramme auf Baumebene Annäherungen, die keine Selbstinteraktion berücksichtigen. Wenn beispielsweise ein elektrisches Feld auf ein Elektron einwirkt, würde das Verwerfen der Selbstwechselwirkung das Aufschreiben der Lorentz-Kraft und das Berechnen ihrer Bahn mithilfe der Bewegungsgleichung bedeuten. Dies ist eine Annäherung, da auch das Elektron ein elektrisches Feld hat und dessen Wirkung spürt, wenn es sich bewegt. Schleifenintegrale sind die Möglichkeit, diese Selbstwechselwirkungseffekte in der perturbativen QFT auszudrücken.