Feynman regiert von Lagrange

Ich weiß, dass es bereits Fragen zur Bestimmung der Feynman-Regeln bei einem bestimmten Lagrange gibt, aber bei dieser Frage geht es mehr darum herauszufinden, ob ich richtig verstehe, wie man das macht. Ich bereite mich auf eine Prüfung in QFT vor, also ist jeder willkommen, der mich darauf hinweist, was ich falsch mache.

Also, in einer alten Prüfung über QFT, die ich als Vorbereitung verwende, wird uns die Lagrange-Funktion gegeben

L = ∂ μ ϕ ∗ ∂ μ ϕ − M 2 ϕ ∗ ϕ + 1 2 ∂ μ π ∂ μ π − λ ( ϕ ∗ ϕ ) 2 + λ ( ϕ ∗ ϕ ) π 2 − G ( ϕ ∗ ϕ ) π

Wo ϕ ist ein komplexes und π ein echtes Skalarfeld. Wir sollen die Propagatoren und Vertexregeln ohne Beweise aufschreiben.

Ich denke, die Propagatoren sollten von gegeben werden

D ϕ = ich P ϕ 2 − M 2 + ich ϵ für  ϕ D π = ich P π 2 + ich ϵ für  π .

Nun die Scheitelpunktregel für L 1 = − λ ( ϕ ∗ ϕ ) 2 sollte sein ich M 1 = − 4 ich λ , die Regel für L 2 = λ ( ϕ ∗ ϕ ) π 2 sollte sein ich M 2 = 2 ich λ und die für L 3 = − G ( ϕ ∗ ϕ ) π sollte gegeben werden durch ich M 3 = − ich G , bei dem die M ich sind die Amplituden. Sind diese Regeln richtig? Meine Idee war folgende:

Für eine Theorie mit der Wechselwirkung Lagrange L int = G 3 ! ϕ 3 , der Faktor in der Amplitude, der vom Wechselwirkungsknoten kommt, ist gegeben durch ich G . Der Faktor 1 / 3 ! im Lagrange ist eine Konvention, die ihren Ursprung in der Macht des Feldes hat ϕ . Also eine Interaktion zwischen zwei ϕ 's und drei π 's könnte zum Beispiel geschrieben werden als L int = 1 2 ! 3 ! ϕ 2 π 3 . Bemerken, dass der Faktor 1 / 3 ! im Lagrangian der ϕ 3 -Theorie in der Scheitelpunktregel verschwindet, habe ich dies naiv auf den Lagrange verallgemeinert, um den es in dieser Frage geht. Im Begriff L 1 = − λ ( ϕ ∗ ϕ ) 2 , werden beide Felder in die zweite Potenz erhoben, was einen Faktor von ergibt 2 ! 2 ! = 4 erscheinen in der Scheitelpunktregel. Vielleicht ist dieses Verfahren gefährlich, aber ich frage mich, ob es nur ein Zufall ist, dass es in diesem Fall funktioniert.

Ich bin jedem dankbar, der kommentieren kann, was ich getan habe.

Antworten (1)

Zunächst einmal sieht das ganz nach einer Hausaufgabenfrage aus, die in dieser Form normalerweise nicht gestellt werden sollte. Es wäre hilfreich, wenn Sie Ihre Einsichten in das Problem teilen würden. Was waren Ihre Gedanken? Dann können die Leute wirklich kommentieren, was du getan hast. Außerdem ist die Formulierung des Problems in eigenen Worten der beste Weg, um zu überprüfen, was Sie bereits verstehen und was nicht.

Ihre Feynman-Regeln sind korrekt. Beachten Sie jedoch, dass die von Ihnen aufgeschriebenen Verbreiter für eine freie Theorie sind ( λ = G = 0 ), so dass es Schleifenkorrekturen einiger höherer Potenzen in den Kopplungskonstanten gibt (versuchen Sie, die Reihenfolge zu zählen!). Die numerischen Vorfaktoren für die Eckpunkte ergeben sich aus funktionalen Ableitungen der Lagrange-Wechselwirkung. Dh Sie leiten die Lagrange-Wechselwirkung bzgl. ab ϕ , ϕ ∗ , π . Für jedes Derivat, das Sie genommen haben, erhalten Sie eine externe Leitung.

Aktualisieren:

Wenn Sie nur die Vertex-Vorfaktoren wollen, können Sie einfach die Leistung jedes Felds zählen. Letztendlich sind dies nur kombinatorische Faktoren, wie man die verschiedenen Felder organisiert. Beachten Sie, dass Sie beim Zählen etwas vorsichtiger sein müssen, wenn Ihr Lagrange aus fermionischen Feldern besteht. Ich schlage vor, Sie werfen einen Blick in Ihr Lieblings-QFT-Buch und lesen etwas über Wicks Theorem.

Normalerweise teilt man die Lagrange-Funktion in einen freien Teil (denjenigen ohne Wechselwirkungen; d. h. man nimmt die volle Lagrange-Funktion und setzt alle Kopplungen G , λ , . . . auf Null) und einen Teil, in dem alle Interaktionen stattfinden ( L ich N T = L − L F R e e ) sind inklusive. Der Propagator ist definiert als die Zweipunktfunktion, dh ein Teilchen, das sich von einem Punkt in der Raumzeit zu einem anderen bewegt. Aber da die betrachtete Theorie Wechselwirkungen zulässt, kann dazwischen ziemlich viel passieren. Der volle Propagator ist dann gegeben durch die Summe aller irreduziblen (1PI) Ein-Teilchen-Zweipunktfunktionen (von denen es unendlich viele gibt, unterdrückt durch höhere Potenzen der Kopplungen der entsprechenden Eckpunkte). Da ist zum Beispiel ein ϕ ϕ ∗ π π Scheitel. Sie können die verbinden ϕ Und ϕ ∗ Punkte mit einem Propagator und am Ende eine Zweipunktfunktion für π von Ö ( λ ) .

Willkommen bei Physics SE! Ein kurzer Tipp ... Nennen Sie niemals eine SE-Site ein Forum: Sie sind keine Foren. Die Leute flippen aus. Anscheinend ist der Begriff " Denkfabrik ".
@Florian Hechenberger: Danke für die Antwort. Eigentlich stammt diese Frage aus einer alten Klausur über QFT, die ich als Vorbereitung auf die eigentliche Klausur verwende und deshalb klingt sie wie eine Hausaufgabenaufgabe. Ich habe meinen Beitrag dahingehend bearbeitet, dass ich erkläre, wie ich zu den Vorfaktoren in den Vertexregeln gekommen bin. Könnten Sie ein wenig erläutern, was Sie meinen, wenn Sie sagen, dass die Propagatoren für eine freie Theorie sind? Ich weiß nicht genau, was du damit meinst.
@MeMeansMe : Ich habe meinen Beitrag aktualisiert. Und ging ein wenig auf die freie und interagierende Theorie ein. Ich hoffe, das verdeutlicht meine vorherige Antwort.
Feynman regiert von Lagrange
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v