Symmetriefaktor in der ϕ4ϕ4\phi^4 Theorie

Ich habe Probleme beim Versuch zu verstehen, was der Symmetriefaktor eines Feynman-Diagramms wirklich ist. Aus Büchern erfahre ich, dass es sich um einen geometrischen Faktor handelt, den man durch die Anzahl der Möglichkeiten erhält, wie man die inneren Linien des Diagramms so verformen kann, dass es gleich aussieht. Das heißt, so wie ich es verstehe, hat es weder mit der Anzahl der Kontraktionen zu tun, die zu derselben Topologie führen (Wicks Theorem), noch mit der$4!$Faktor des Lagrange, noch mit dem$n!$Faktor aus der Erweiterung der Dyson-Serie und so weiter.

Wenn ich hier jedoch einige Diskussionen sehe, scheinen sie diesen geometrischen Faktor nicht zu berücksichtigen. Ich gebe Ihnen eine Zusammenfassung dieser Diskussion :

Zusammenfassung

Betrachten Sie die Lagrangian des reellen Skalarfeldes gegeben durch

$$\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4$$

Abgesehen von Schneckenbeiträgen trägt das einzige Diagramm dazu bei$\langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle$bei einer Schleifenreihenfolge ist der sogenannte Dinosaurier:

Beginnen wir mit den äußeren Beinen auf der linken Seite. Es gibt acht mögliche Stellen, an denen das erste äußere Bein oben links befestigt werden kann: Es kann an einem der vier möglichen befestigt werden$\phi_x$Felder oder auf eines der vier möglichen$\phi_y$Felder. Das untere linke Außenbein hat dann nur drei Möglichkeiten, da wenn das erste Bein an dem befestigt ist$\phi_x$Feld, dieses Bein muss auch an a befestigt werden$\phi_x$Feld, und ähnlich für$\phi_y$. Das Anbringen dieser Beine ergibt also einen Faktor von$2\times 4\times 3$.

Jetzt machen wir die Beine rechts. Wenn die Beine auf der linken Seite befestigt sind$\phi_x$, die Beine auf der rechten Seite müssen angesetzt werden$\phi_y$, und umgekehrt. Es gibt also nur vier Möglichkeiten für das äußere Bein oben rechts und drei Möglichkeiten für das äußere Bein oben links. Somit ergibt das Anbringen dieser Beine einen Faktor von$4\times 3$.

Zum Schluss befestigen wir die inneren Beine. Das erste Bein hat zwei Befestigungspunkte, das zweite nur einen. So erhalten wir einen Faktor von$2$.

Insgesamt bietet uns die Dyson-Serie eine$\frac{1}{2!}$, und die Eckpunkte geben uns a$\frac{1}{4!4!}$, also ist der Symmetriefaktor

$$\frac{2\times 4 \times 3\times 4\times 3\times 2}{2!4!4!}=\frac{1}{2}$$

Ende der Zusammenfassung

Was Jahan Claes hier tut, ist das zu berücksichtigen$\frac{1}{(4!)^2}$Faktor aus den beiden Eckpunkten; Die$\frac{1}{2!}$Faktor aus der Dyson-Erweiterung des Exponentials, der sich mit dem aufhebt$2!$aus der Vertauschung der Rollen der beiden Eckpunkte; Die$4\times 3 \times 4 \times 3$von den Kontraktionen der äußeren Beine mit den Feldern; und ein zusätzliches$2$aus den Kontraktionen der inneren Felder.

Sollten wir dies auch durch 2 teilen, um die Permutation der internen Linien zu berücksichtigen, die zu demselben Diagramm führen?

Wenn das der Fall ist, warum müssen wir dann eines dieser wiederholten Diagramme verwerfen? Würde es nicht bedeuten, dass diese Art von Diagrammen einfach mehr beiträgt als andere Diagramme, die diesen geometrischen Faktor nicht haben?