Docht Kontraktion

Ich lese Quantenfeldtheorie in einer Nussschale von A. Zee.

Zee führt die Logik/Maschinerie hinter Feynman-Diagrammen in drei Schritten ein: Baby -> Kind -> "Real".

Das Babyproblem erzeugt Diagramme, indem es das folgende eindimensionale Integral zu einer doppelten Reihe in Bezug auf erweitert$e^{- \frac{\lambda}{4!}q^4}$Und$e^{Jq}$:

$$Z(J) = \int_{- \infty}^{\infty} dq e^{-\frac{1}{2}m^2q^2 - \frac{\lambda}{4!}q^4+Jq}$$
So weit, ist es gut.

Das Kindproblem befördert das obige Integral in ein multiples Integral mit den "Substitutionen"$m^2 \to A$($n \times n$symmetrische Matrix) und$J,q$Zu$n$Vektoren:

$$Z(J) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \ldots \int_{- \infty}^{\infty} dq_1 dq_1 \ldots dq_n e^{-\frac{1}{2} q \cdot A \cdot q - \frac{\lambda}{4!} \sum_{i=1}^{n}q_i^4 +J \cdot q}=$$ $$= Z(0,0) \sum_{s=0}^{\infty} \sum_{i_1=1}^{n} \ldots \sum_{i_s=1}^{n} \frac{1}{s!} J_{i_1} \ldots J_{i_s} G^{(s)}_{i_1 \ldots i_s}$$

Für$s=2$Ich schaffe es, die richtige Antwort zu bekommen (weil es keine Möglichkeit von Permutationen gibt ...).
für$s=4$Ich verstehe nicht, woher die Summe der Permutationen kommt, also greife ich zurück zum Anhang.
Um die Dinge so einfach wie möglich zu machen, wähle ich$n=4$und erhalten:

$$\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 e ^{-\frac{1}{2} x \cdot A \cdot x} x_1 x_2}{\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 e ^{-\frac{1}{2} x \cdot A \cdot x} } = A_{12}^{-1}$$

Aber wenn ich versuche zu tun$\langle x_1 x_2 x_3 x_4\rangle$, bekomme ich nur$A_{12}^{-1} A_{34}^{-1}$, und nicht eine Summe auf Permutationen. Das bekomme ich, wenn ich mich bewerbe$\frac{d^4}{dJ_4 dJ_3 dJ_2 dJ_1}$An$e^{\frac{1}{2} J \cdot A^{-1} \cdot J}$(Dies ist die Lösung der 4-d-Gaußschen mit dem Extra$J \cdot x$Term im Exponential) und dann Einstellung$J=0$.

Ich muss die Anweisung missverstanden haben: „Unterscheide$p$mal bzgl$J_i, J_j, \ldots , J_k,$Und$J_l$, und dann einstellen$J=0$."

Bitte sagen Sie mir, ob meiner Frage einige Details fehlen, die Aufschluss darüber geben könnten, was ich falsch mache (oder was ich nicht verstehe) ...