Ableitung der Schwinger-Dyson-Gleichung im Buch Gauge/Gravity Duality: Foundations and Applications

In dem Buch Gauge/Gravity Duality: Foundations and Applications von M. Ammon und J. Erdmenger leiten sie die Schwinger-Dyson-Gleichung ab, indem sie das erzeugende Funktional betrachten$J[Z]$und eine Variablenänderung$\phi(x) \rightarrow \widetilde{\phi}(x)= \phi(x)+\delta \phi(x)$, mit$\delta\phi(x)$eine willkürliche infinitesimale Verschiebung ist. Dies führt zur Identität

$$0=\delta Z[J]=i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^dx \left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x) \right)\delta \phi(x)$$ Der nächste Schritt besteht dann darin, funktionale Ableitungen bzgl. zu nehmen$J(x_i)$und Einstellung$J$bis Null. Das Buch notiert das Ergebnis in Gl. 1.234 wie $$0=i\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\phi(x_1)...\phi(x_n)\right\rangle +\sum_{j=1}^n\left\langle \phi(x_1)...\phi(x_{j-1})\delta(x-x_j)\phi(x_{j+1})...\phi(x_n) \right\rangle$$ Wenn ich jedoch versuche, die funktionalen Ableitungen zu berechnen, die ich finde (und ich gehe jetzt zum speziellen Fall von$n=2$) $$0=\frac{\delta^2}{\delta J(x_1) \delta J(x_2)} \left[i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^dx \left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x) \right)\delta \phi(x) \right]_{J=0}$$

$$=\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \left[i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^d\delta(x-x_2)\phi(x)\int d^dx \left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x) \right)\delta \phi(x)\\+i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^dx \delta^d(x-x_2)\delta \phi(x) \right]_{J=0}$$

$$=\left[i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\left( \left(\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}+J(x)\right)\delta\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)+\delta\phi(x_1)\phi(x_2)+\phi(x_1)\delta\phi(x_2) \right)\right]_{J=0}$$

$$=i\int d^dx\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle +\left\langle \phi(x_1)\delta\phi(x_2)\right\rangle+\left\langle \delta\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle$$ Wenn ich dieses Ergebnis mit dem Buch vergleiche, sehe ich, dass es einige unerwünschte gibt$\delta\phi(x_i)$sowie ein Integral, das ebenfalls nicht in der Gleichung im Buch enthalten ist. Ich bin mir fast sicher, dass dieses Ergebnis wahr ist, aber es fehlt ein letzter Schritt, den ich nicht erkenne. Ich habe versucht, die funktionale Ableitung zu nehmen$\frac{\delta}{\delta(\delta\phi(y))}$, was zumindest in allen Begriffen eine Dirac-Delta-Funktion ergeben und alle verschobenen Felder beseitigen würde$\delta\phi(x_i)$. $$0=\frac{\delta}{\delta(\delta\phi(y))}\left[i\int d^dx\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle +\left\langle \phi(x_1)\delta\phi(x_2)\right\rangle+\left\langle \delta\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle\right]$$ $$=i\int d^dx\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta^d(y-x)\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle +\left\langle \phi(x_1)\delta(y-x_2)\right\rangle+\left\langle \delta(y-x_1)\phi(x_2)\right\rangle$$

Es funktioniert jedoch immer noch nicht vollständig, da mir jetzt ein Feld fehlt$\phi(x_i)$im zweiten und dritten Semester. Wo mache ich hier einen Fehler?