Leiten Sie Schwinger-Dyson-Gleichungen in Srednicki her

Betrachten wir der Einfachheit halber ein einzelnes Skalarfeld. Der folgende Schritt ist eine falsche Anwendung der funktionalen Ableitung:

$$\begin{align} \delta Z(J) = \frac{\delta Z}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x) \end{align}$$ Per Definition kann man nur die funktionale Ableitung einer Funktion nehmen $F$gegenüber $\phi$Wenn $F$ist eine Funktion von $\phi$. Das Funktionale $Z$ist keine Funktion von $\phi$Weil $\phi$wird in das Funktionsintegral integriert.

Was hier vor sich geht, ist eine Änderung der Variablen im funktionalen Integral. Es wird angenommen, dass das Maß unter dieser Änderung der Variablen unveränderlich ist, also bleibt übrig, dass sich die Terme innerhalb des Exponentials ändern können. Umgang mit dem Begriff einbeziehen$S$, stellen wir fest, dass unter der Änderung von Variablen$\phi \to \phi + \delta\phi$, ändert sich die Aktion wie folgt:

$$\begin{align} S[\phi] \to S[\phi + \delta \phi] = S[\phi] + \delta S[\phi] + O(\delta\phi^2) \tag{A} \end{align}$$ und für angemessen brav $S$, die Änderung erster Ordnung auf der rechten Seite (nämlich $\delta S$) kann als Integral der funktionalen Ableitung von geschrieben werden $S$gegenüber $\phi$. Um dies zu sehen, nehmen wir zum Beispiel an, dass $S$ist das Integral einer lokalen Lagrange-Dichte in Abhängigkeit vom Feld und seiner Ableitung; $$\begin{align} S[\phi] = \int d^4x\, \mathscr L(\phi(x), \partial\phi (x)) \tag{B} \end{align}$$ dann erhalten wir unter geeigneten Randbedingungen $$\begin{align} \delta S[\phi] = \int d^4x\, \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi} -\partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right] \delta\phi(x) \tag{C} \end{align}$$ auf der anderen Seite beachte das $$\begin{align} \int d^4x\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta \phi(x) &= \int d^4x \,\delta\phi(x)\int d^4y \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi}\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}+\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}\right] \\ &= \int d^4x \,\delta\phi(x)\int d^4y \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi}\delta(x-y)+\frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\delta(x-y)\right]\\ &= \int d^4x\, \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi} -\partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right] \delta\phi(x) \end{align}$$ also zusammenfassend finden wir das $$\begin{align} \delta S[\phi] = \int d^4x\, \left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi} -\partial_\mu \frac{\partial\mathscr L}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right] \delta\phi(x) \tag{D} \end{align}$$ wie in Srednicki erwähnt.

Anmerkungen. Ich habe die partielle Integration und die folgende funktionale Ableitungsidentität in den obigen Berechnungen verwendet:

$$\begin{align} \frac{\delta\phi(x)}{\delta\phi(y)} = \delta(x-y) \end{align}$$ was aus der Definition des funktionalen Derivats bewiesen werden kann.

I) Das erwähnte Integral$\color{Red}{\int \!\mathrm{d}^4x}$auf der rechten Seite von Gl. (B) sollte wirklich da sein. Wenn wir die Aktion definieren als

$$\tag{1}S_J[\phi]~:=~S[\phi]+\int \!\mathrm{d}^4x~ J_a(x) \phi^a(x),$$

dann lautet die infinitesimale Variation der Aktion

$$\tag{2}\delta S_J~=~ \color{Red}{\int \!\mathrm{d}^4x} ~\frac{\delta S_J}{\delta \phi^a(x)} ~\delta \phi^a(x).$$

Funktionale Ableitungen in (2) sind analog zu partiellen Ableitungen aus der Funktionentheorie$f=f(z)$in mehreren Variablen$z\in \mathbb{R}^n$. In letzterem liest sich eine infinitesimale Variation

$$\tag{3} \delta f(z)~=~\color{Red}{\sum_{i=1}^n} \frac{\partial f(z)}{\partial z^i}\delta z^i.$$

Der Unterschied ist, dass die Summe$\color{Red}{\sum_{i=1}^n}$in (3) wird durch ein Integral ersetzt$\color{Red}{\int \!\mathrm{d}^4x}$in (2), um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass wir jetzt unendlich viele Variablen haben$\phi^a(x)$(im Gegensatz zu$z^i$), gekennzeichnet durch einen fortlaufenden Index$x\in \mathbb{R}^4$(im Gegensatz zu einem diskreten Index$i$).

II) Ein weiteres Problem ist, dass man das Pfadintegral auf der rechten Seite von OPs Gl. (B) mit$Z[J]$da das Wegintegral über den Rest der rechten Seite integrieren soll.