Äquivalenz von kanonischer Quantisierung und Pfadintegralquantisierung

Diese Art von Problemen wird oft als eingeschränktes mechanisches System bezeichnet. Es wurde von Dirac untersucht, der die Theorie der eingeschränkten Quantisierung entwickelte . Diese Theorie wurde von Marseden und Weinstein formalisiert und zur sogenannten „Symplektischen Reduktion“ weiterentwickelt. Ein besonders aufschlussreiches Kapitel für endlichdimensionale Systeme findet sich in dem Buch von Marsden und Ratius: „Introduction to mechanics and symmetry“.

Wenn der Phasenraum eines dynamischen Systems ein Kotangensbündel ist, kann man die üblichen Methoden der kanonischen Quantisierung und das entsprechende Pfadintegral verwenden. Dieser Formalismus funktioniert jedoch im Allgemeinen nicht für nichtlineare Phasenräume. Ein wichtiges Beispiel ist, wenn der Phasenraum durch eine nichtlineare Oberfläche in einem größeren linearen Phasenraum definiert ist.

Grundsätzlich kann man bei Symmetrie eines Phasenraums das Problem in zwei Stufen auf einen kleineren Phasenraum reduzieren

1. Arbeiten Sie an "Konstantenergieflächen" des Hamilton-Operators, der diese Stymmetrie erzeugt.
2. Betrachten Sie nur "invariante Observablen" auf diesen Oberflächen.

Dieses Verfahren reduziert die Dimensionen des Phasenraums um 2, und die reduzierte Dimension bleibt gerade. Man kann beweisen, dass, wenn der ursprüngliche Phasenraum symplektisch ist, dies auch der reduzierte Phasenraum sein wird.

Das vielleicht einfachste Beispiel ist die Eliminierung der Schwerpunktbewegung in einem Zwei-Teilchen-System und das Arbeiten in der reduzierten Dynamik.

Es gibt einen Satz von Guillemin und Sternberg für bestimmte Arten von endlichdimensionalen Phasenräumen, der besagt, dass die Quantisierung mit der Reduktion pendelt. Das heißt, man kann entweder die ursprüngliche Theorie quantisieren und dem Quanten-Hilbert-Raum die Beschränkungen auferlegen, um die "physikalischen" Zustände zu erhalten. Oder man kann die klassische Theorie reduzieren und dann quantisieren. In diesem Fall wird automatisch der reduzierte Hilbertraum erhalten. Der zweite Fall ist nicht trivial, weil der reduzierte Phasenraum zu einer nichtlinearen symplektischen Mannigfaltigkeit wird und in vielen Fällen nicht einmal eine Mannigfaltigkeit ist (weil die Gruppenwirkung nicht frei ist).

Die meisten physikalischen Anwendungen behandeln jedoch Feldtheorien, die unendlichdimensionalen Phasenräumen entsprechen, und es gibt kein Gegenstück zum Guillemin-Sternberg-Theorem. (Es gibt Arbeiten von NP Landsman, die versuchen, den Satz auf einige unendlich dimensionale Räume zu verallgemeinern). Aber im Allgemeinen wird in der physikalischen Literatur von der Kommutativität der Reduktion und Quantisierung Gebrauch gemacht, auch wenn ein formaler Beweis noch aussteht. Das bekannteste Beispiel ist die Quantisierung des Modulraums flacher Verbindungen in Bezug auf die Chern-Simons-Theorie.

Das bekannteste Beispiel für eingeschränkte Dynamik in unendlich dimensionalen Räumen ist die Yang-Mills-Theorie, zu der der Impuls konjugiert$A_0$verschwindet. Es sollte erwähnt werden, dass es einen alternativen (und äquivalenten) Ansatz gibt, um die Beschränkungen zu behandeln und die Marsden-Weinstein-Reduktion durch BRST durchzuführen, und dies ist die übliche Art und Weise, wie die Yang-Mills-Theorie behandelt wird. Bei diesem Ansatz wird der Phasenraum zu einer Supermannigfaltigkeit erweitert, anstatt reduziert zu werden. Der Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass die resultierende Supermannigfaltigkeit flach ist und Methoden der kanonischen Quantisierung verwendet werden können.

Im erwähnten Fall des Skalarfeldes kann der Phasenraum als unendlich viele Kopien betrachtet werden$T^{*}\mathbb{R}$. Die Beziehung$\Pi = \partial_x \phi$ist die Zwangsfläche. Bei einer naiven Dimensionszählung der reduzierten Phasenraumdimensionen findet man, dass in jedem Raumpunkt die 1+1-Dimensionen des Phasenraums (das Feld und sein konjugierter Impuls) durch die Zwangsbedingung und ihren Symmetriegenerator vollständig reduziert werden. Somit bleibt uns eine "nulldimensionale" Theorie. Ich habe dieses Beispiel nicht ausgearbeitet, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass wir bei sorgfältiger Durchführung dieses Falls eine endliche Anzahl von Restparametern übrig hätten. Dies ist ein Zeichen dafür, dass diese Theorie topologisch ist – was durch die Quantisierung des globalen Koeffizienten zu sehen ist.“

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Als Antwort auf Gregs Kommentare finden Sie hier weitere Referenzen und Details.

Der folgende Übersichtsartikel (Aspects of BRST Quantization) von JW van Holten erläutert die BRST-Quantisierung der Elektrodynamik und die Yang-Mills-Theorie (Faddeev-Popov-Theorie) als eingeschränkte mechanische Systeme. Der Artikel enthält weitere Beispiele aus der Quantenmechanik (endlicher dimensionaler Phasenraum). auch.

Der folgende Artikel von Phillial Oh . (Classical and Quantum Mechanics of Non-Abelian Chern-Simons Particles) beschreibt die Quantisierung eines (endlich dimensionalen) mechanischen Systems, das die symplektische Reduktion direkt ohne Verwendung von BRST durchführt. Hier sind die reduzierten Räume koadjungierte Umlaufbahnen (z. B. Flaggen-Mannigfaltigkeiten oder projektive Räume). Die schöne Geometrie dieser Räume ist sehr bekannt und das ist der Grund, warum die Reduktion hier direkt durchgeführt werden kann. Für die meisten reduzierten Phasenräume fehlt eine solche explizite Kenntnis der Geometrie. In der Feldtheorie besitzen Probleme wie die Quantisierung der zweidimensionalen Yang-Mills-Theorie eine solche explizite Beschreibung, aber für höherdimensionale ist mir (außer BRST) keine explizite Behandlung bekannt.

Der folgende Artikel von Konstantant und Sternberg beschreibt die Äquivalenz zwischen der BRST-Theorie und der direkten symplektischen Reduktion.

Nun zum Wegintegral. Ich denke, dass die meisten neueren physikalischen Errungenschaften mithilfe des Pfadintegrals erzielt wurden, auch wenn es einige lose Punkte hat. Ich kann Sie auf das folgende Buch von Cartier und Cecile DeWitt-Morette verweisen, in dem sie Pfadintegrale auf nicht-flachen symplektischen Mannigfaltigkeiten behandelten und außerdem das oszillierende Pfadintegral in Form von Poisson-Prozessen formulierten.

Es gibt eine sehr lesbare Referenz von Orlando Alvarez, die die Quantisierung der globalen Koeffizienten topologischer Terme in Commun beschreibt. Mathematik. Phys. 100, 279-309 (1985) (Topologische Quantisierung und Kohomologie). Ich denke, dass die in der Frage angegebene Lagrange-Funktion mit denselben Methoden behandelt werden kann. im Grunde ist die Quantisierung dieser Terme auf den gleichen physikalischen Grund zurückzuführen, aus dem das Produkt aus elektrischen und magnetischen Ladungen magnetischer Monopole quantisiert werden sollte. Dies ist als Dirac-Quantisierungsbedingung bekannt. Bei der Wegintegralformulierung folgt daraus die Forderung, dass eine Eichtransformation eine Phasenverschiebung von Vielfachen von erzeugen soll$2\pi$. Bei der geometrischen Quantisierung folgt diese Bedingung aus der Forderung, dass das Vorquantisierungs-Linienbündel einer ganzzahligen symplektischen Form entsprechen soll.

Die Verfahren 1 und 2 sind äquivalent, wenn die Wirkung im Impuls quadratisch ist und wenn es eine Eichfixierung gibt, die eine einheitliche Quantenfeldtheorie erzeugt. Einheitlichkeit ist im Pfadintegral nicht offensichtlich, wie Dirac sofort bemerkte. Sie wird entweder durch den direkten Beweis der Reflexionspositivität im Pfadintegral oder durch den Übergang zu einer kanonischen Beschreibung festgestellt, bei der die Einheitlichkeit offensichtlich ist, weil der Hamilton-Operator real ist.

Es ist wichtig anzumerken, dass die Tatsache, dass die Größen im Pfadintegral keine Operatoren sind, völlig unerheblich ist . Ihre Produkte pendeln nicht und erfordern eine sorgfältige Definition in Bezug auf die Zeitreihenfolge, die in jeder Hinsicht den Ordnungsmehrdeutigkeiten im Hamiltonschen Formalismus entspricht. Wenn Sie sie sich als Operatoren vorstellen möchten, können Sie sie auf die eingehenden Randbedingungen auf die gleiche Weise wie Heisenberg-Operatoren wirken, da sie nur die Matrixelemente von Heisenberg-Operatoren sind. Es gibt keinen Unterschied in den Eigenschaften der Größen im Pfadintegral-Formalismus und jedem anderen Formalismus, sie werden im Pfadintegral nicht einfacher.

Feynman-Fourier-Transformation

Für Hamiltonoperatoren, die im Impuls nicht quadratisch sind, ist es schwieriger, zu einem Pfadintegral überzugehen, da die Quantenwirkung nicht gleich der klassischen Wirkung ist. Die allgemeine Vorschrift für den Übergang zur Feynman-Beschreibung lautet über das Phasenraumpfadintegral:

$$K(x,y) = \int Dx Dp e^{i\int (p\dot{x} - H(p,q))} dt$$

wo der Begriff$p\dot{x}$ist zu interpretieren als$p_t(x_{t+\epsilon} - x_t)$, das ist,$\dot{x}$ist eine Vorwärtsdifferenz, und H(p,q) ist "normal geordnet", was bedeutet, dass alle p-Terme umgewandelt werden, um zuerst zu erscheinen.

Dann ergibt sich die Feynman-Form durch Herausintegrieren des Impulses. Dies kann im Allgemeinen nicht in geschlossener Form erfolgen, daher gibt es viele Beispiele für wohlerzogene Hamiltonianer, deren Lagrange-Beschreibung beispielsweise nicht in geschlossener Form ausdrückbar ist

$$H= p^4 + V(x)$$

und es gibt umgekehrte Beispiele von netten Lagrange-Operatoren, deren Hamilton-Form nicht sehr nett ist. Ich werde gleich ein solches Beispiel geben. Aber zuerst verwandeln sich die Feynman.

Wenn der Hamilton-Operator von der Form ist

$$H =K(p) + V(x)$$

Dann wird die Lagrange-Beschreibung vollständig in Form der Funktion K' ausgedrückt, die in dieser Formel erscheint:

$$e^{-K'(v)} = \int e^{-K(p) + i p v} dx$$

Das heißt, die Feynman-Transformation K' ist der Logarithmus der Fourier-Transformation des Exponentials minus der ursprünglichen Funktion. Um zu sehen, dass dies einfach funktioniert, drehen Sie Wick jedes Integral über p und führen das Integral formal mit K' aus.

Jede exakt ausdrückbare Feynman-Transformation ist interessant, aber es gibt nur sehr wenige. In der Literatur gibt es genau einen:

$$K(p) = {1\over 2} p^2 \implies K'(v) = {1\over 2} v^2$$

Dies kümmert sich um den quadratischen Impuls. Wenn Sie Ihre Aufmerksamkeit auf die veröffentlichte Literatur beschränken, ist die Feynman-Integraltabelle so lächerlich. All die üblichen Quantenfeldtheorien kümmern sich jedoch um so viel, also ist es nicht unbedeutend.

Mehr Feynman verwandelt sich

Da die Literatur dazu erbärmlich ist, hier einige nichttriviale Feynman-Transformationen und die Physik, die sie beschreiben:

Cauchy-Quantenmechanik:

$$K(p) = |p| \implies K'(v) = -\log( 1+ x^2)$$

Dies ist eine schöne Transformation, da das Integral des Lagrange-Weges, das Sie erhalten (in imaginärer Zeit), ist

$$\int Dx e^{-\int \log(1+|\dot{q}|^2) - V(x)}$$

Dieses Pfadintegral definiert ein Pfadintegral über Levy-Flüge, dessen stabile Verteilung die Cauchy-Verteilung ist. Sie können dies sehen, indem Sie sich die Fortpflanzungsfunktion zwischen benachbarten Zeiten ansehen, sie ergibt eine Cauchy-Verteilung. Dieses Pfadintegral definiert die Cauchy-Quantenmechanik. Es ist ein Sonderfall von

Levy-Quantenmechanik:

$$K(p) = |p|^\alpha \implies K(x) = - \log( L_\alpha(x) )$$

Zum$0<\alpha<2$, und wo$L_\alpha$ist die Einheit der stabilen Levy-Verteilung für den Exponenten$\alpha$. Diese quantenmechanischen Systeme wurden in den letzten Jahren untersucht, aber ihr Pfadintegral taucht nirgendwo in der Literatur auf. Das Pfadintegral ist durch die Feynman-Transformation gegeben.

Es gibt unzählige interessantere Feynman-Transformationen, sie sind das Analogon der Legendre-Transformationen in der klassischen Mechanik und genauso nützlich.

Einheitlichkeit beweisen

Das Pfadintegral ist für jede euklidische statistische Theorie wohldefiniert, aber nur sehr wenige davon führen zur Quantenmechanik. Ein Unitaritätsbeweis geht gewöhnlich auf eine Hamiltonsche Formulierung über, weil diese offensichtlich unitar ist.

Ein Beispiel für ein nicht einheitliches, renormierbares Pfadintegral-Statistiksystem, das ansonsten vollkommen in Ordnung ist, ist

$$\int d^8x |\nabla \phi|^4 + Z|\nabla\phi|^2 + t(\phi)^2 + \lambda \phi^4$$

Dieses System wurde in untersucht$8-\epsilon$Dimensions von Mukhamel, weil seine Epsilon-Erweiterung ziemlich genau die gleiche ist wie die$4-\epsilon$Ausbau der$\phi^4$Modell. In acht Dimensionen definiert es einen vollkommen guten Punkt zweiter Ordnung, wenn Z und t auf die richtigen Werte abgestimmt sind. Aber die Theorie ist absolut nicht einheitlich – es gibt keine interagierenden skalaren Quantentheorien in 8 Dimensionen. Dies ist der Kallen-Darstellung sofort zu entnehmen.

Jeder Propagator in einer einheitlichen Theorie kann im euklidischen Raum ausgedrückt werden als

$$G(k) = \int ds {\rho(s) \over k^2 - s}$$

Das heißt, als Überlagerung gewöhnlicher Propagatoren mit unterschiedlichen Werten$s$der quadrierten Masse.$\rho(s)$ist nicht-negativ, weil es in Echtzeit die Norm des Zustands ist, der von dem Feld geschaffen wird, dessen Propagator Sie ausdrücken. Es ist diese Darstellung, die Ihnen sagt, dass falsche Zeichenmasten Geisterstaaten sind.

Das${1\over k^4 + (A+B) k^2 + AB}$Mukhamel Lifschitz-Punktpropagator (mit seltsamer Parametrisierung) ist als spektrale Darstellung durch Partialbrüche ausdrückbar:

$$G(k) \propto {1\over k^2 + A} - {1\over k^2 + B}$$

Diese Kallen-Lehman-Spektraldarstellung ist eindeutig gespenstisch. Der zweipolige Fall hat eine Lehman-Funktion, die die Ableitung einer Delta-Funktion ist, die ebenfalls nicht positiv definit ist, durch Grenzwerte.

Es gibt Unmengen von nicht einheitlichen euklidischen Theorien, und um die einheitlichen zu finden, ist die Hamiltonsche Formulierung sehr hilfreich. Indem Sie ein Messgerät ohne Geister finden und in eine kanonische Form umwandeln, beweisen Sie beispielsweise, dass die Messgerätetheorie einheitlich ist.