Warum der Hamilton-Operator und der Lagrange-Operator in QFT-Störungsberechnungen austauschbar verwendet werden

Aus$L=H_0-V$Und$H=H_0+V$man sieht, dass sich (für ausreichend einfache Theorien) die Lagrange-Wechselwirkung und die Hamilton-Wechselwirkung nur um ein Vorzeichen unterscheiden.

Nun, ein weiterer Grund, warum dies der Fall sein kann, ist, dass die Aktion in beiden Fällen dieselbe ist. Entweder Sie beginnen mit der Aktion$S = \int L$, oder man beginnt mit der sogenannten Phasenraumwirkung des Hamiltonoperators$S = \int p{\dot q} - H$. Angesichts der Definition des Hamilton-Operators sollte klar sein, dass diese beiden Ausdrücke formal identisch sind, wenn Sie eine invertierbare Abbildung aus der Menge haben$(p, q) \rightarrow (q, {\dot q})$. Da Interaktionsterme normalerweise nicht die zeitlichen Ableitungen der Konfigurationsvariablen beinhalten (obwohl es Ausnahmen gibt), ist es kaum überraschend, dass der Teil des Formalismus, der nur Interaktionen beinhaltet, formal fast identisch herauskommt.

Ausgehend von der Hamiltonschen Formulierung von QM kann man den Pfad-Integral-Formalismus ableiten (siehe Kapitel 9 in Weinbergs QFT Band 1), wo sich die Hamiltonsche Wirkung als proportional zu herausstellt$\int \mathrm{d}t (pv - H)$.

Für eine Unterklasse von Theorien mit "einem Hamilton-Operator, der quadratisch in den Impulsen ist" (siehe Abschnitt "9.3 Lagrange-Version der Pfad-Integral-Formel" im obigen Lehrbuch), der Begriff$(pv - H)$kann in einen Lagrange umgewandelt werden$L_H = (pv - H)$. Dann ist die Lagrange- Wirkung proportional zu$\int \mathrm{d}t L_H$. Beide Aktionen führen zu denselben Ergebnissen , da die eine der anderen genau entspricht (und von ihr abgeleitet ist) .

Außerdem verwendet man beim Arbeiten in der Wechselwirkungsdarstellung nicht den gesamten Hamiltonoperator, sondern nur die Wechselwirkung. Die Ableitung der Hamilton-Funktion ist die gleiche, außer dass jetzt die Gesamt-Hamilton-Funktion durch die Wechselwirkungs-Hamilton-Funktion ersetzt wird$V$. Auch hier haben Sie zwei äquivalente Formen, um die Aktion entweder in Hamilton- oder in Lagrange-Form zu schreiben.

Betrachtet man Hamiltonianer, deren Wechselwirkung$V$hängt nicht von den Impulsen ab, dann die$pv$Begriff verschwindet und die obige Äquivalenz zwischen den Aktionen reduziert sich auf

wo offensichtlich die Wechselwirkung Lagrange ist$L_V = -V$

Das passiert zum Beispiel in QED, wo die Interaktion$V$hängt sowohl von der Position als auch von Dirac ab$\alpha$aber nicht auf momenta.

Hinweis: In Ihrem Beitrag ist ein Vorzeichenfehler. Ich kann es nicht bearbeiten, weil es weniger als 10 Zeichen sind und ich den Fehler in einem Kommentar oben bemerkt habe, aber es bleibt.

Ist das Exponential in Form 1) nicht auch ein Operator? Dann ist es nicht wirklich die Wahrscheinlichkeitsamplitude einer Flugbahn, wie Sie behaupten. Beide Formen scheinen vom gleichen Ursprung, nämlich dem Hamiltonschen Formalismus, abzustammen, und beide Exponentiale haben im Wechselwirkungsbild den Status des Zeitentwicklungsoperators. Im pfadintegralen Ansatz wäre der Ausdruck das formal ganz andere Tier:

Wenn Sie schnell sehen wollen, warum dies mit Ihrem Ausdruck identisch sein sollte, dann erinnern Sie sich an den Grundzustand$|0\rangle$ist im Allgemeinen kein Eigenzustand des Evolutionsoperators oder der Feldoperatoren. Sie kann jedoch als Summe von Feldeigenzuständen (kohärente Zustände) entwickelt werden. Sie können dann sofort sehen, dass die Entwicklung eine Summe von c-Zahl-Beiträgen ergibt, die ebenfalls mit einer Exponentialfunktion gewichtete Feldkonfigurationen darstellen. Wenn Sie dies tatsächlich richtig machen wollen, müssen Sie einige andere Dinge tun, wie die Raumzeit diskretisieren und an jedem Punkt vollständige Sätze von Feldeigenzuständen einfügen. Dies wird in den meisten feldtheoretischen Texten behandelt, zB Peskin & Schroeder oder Altland & Simons.