Ableitung der Lagrange-Form des Feynman-Pfadintegrals durch Gaußsche Integration

Die Hamiltonsche Form des Pfadintegrals für die zeitliche Entwicklung eines einzelnen Teilchens in einer Dimension (in der nicht-relativistischen Quantenmechanik) lautet:

$$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathcal Dx \mathcal Dp \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(p(t) \dot{x}(t) - \mathcal H(x(t),p(t))\big)}$$ Stellen Sie sich nun vor, dass das einzelne Teilchen einen standardmäßigen quadratischen Hamilton-Operator hat $\mathcal H(x,p)=\frac{p^2}{2m} +V(x)$. Wenn wir dies in die obige Gleichung einsetzen, können wir die Definition des Pfadintegrals verwenden, um zu erhalten (Gleichung 3.5 der Feldtheorien der kondensierten Materie von Atland und Simons): $$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\lim_{N\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}...\int_{-\infty}^{\infty} \prod_{n=1}^{N-1}dx_n \prod_{n=1}^{N}\frac {dp_n}{2\pi} \ e^{\frac {i}{\hbar} \sum_{n=1}^{N} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)}$$ Wo $\delta t = \frac{t_2-t_1}{N}$Und $\dot x_n \equiv \frac{x_n-x_{n-1}} {\delta t}$. Jetzt können wir sehen, dass alle Integrale über Impulse gaußförmig sind und leicht ausgewertet werden können. Indem man die Summe im Exponenten als Produkt von Exponentialen schreibt $e^{\frac {i}{\hbar} \sum_{n=1}^{N} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)} = \prod_{n=1}^{N}e^{\frac {i}{\hbar} \delta t\big(p_n \dot x_n -\frac{p_n^2}{2m}-V(x) \big)}$, und durch Verschmelzen der beiden Produkte können wir leicht Produkte von Gaußschen Integralen über den Impulsen identifizieren, die ausgewertet werden können. Das Endergebnis ist (Gleichung 3.8 von Atland und Simons): $$\langle x|\hat U(t_2,t_1)|x'\rangle=\int \mathfrak Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \big(\frac {1}{2m} \dot{x}^2(t) - V(x(t))\big)}=\int \mathfrak Dx \ e^{\frac i {\hbar} \int_{t_1}^{t_2} dt \ \mathcal L(x,\dot x)}$$ Wo $\mathfrak Dx$ist das neu definierte "Maß" : $$\mathfrak Dx \equiv \lim_{N \to \infty} \big(\frac {mN}{i2 \pi \hbar (t_2-t_1)}\big)^{N/2} \prod_{n=1}^{N-1}dx_n$$

Meine Frage ist:

Das neu definierte Maß hat einen konstanten Koeffizienten, der wie folgt abweicht$N^{N/2} \to \infty$. Ich verstehe nicht, was das physikalisch bedeutet. Ich nehme an, dass die Integrale ohne diesen Faktor alle gegen Null gehen, so dass multipliziert mit diesem abweichenden Faktor eine endlich plausible Antwort für ergibt$\langle x|\hat U|x'\rangle$. Eine andere Sichtweise ist, dass zumindest im Kontext der statistischen Mechanik alle physikalischen Größen wie Erwartungswerte als Verhältnis von Pfadintegralen angegeben werden, sodass sich die divergierenden Terme aufheben. Ich finde jedoch keine Möglichkeit, dies im Kontext der Quantenmechanik zu zeigen, wobei das Pfadintegral die Rolle des Propagators spielt.