Bewerten Sie den Propagator für Partikel, die sich um einen Kreis bewegen

Soweit ich das beurteilen kann, haben Sie zwei Fragen. Ich werde sie separat beantworten. Durchgehend werde ich setzen$\hbar = 1$.

1) Woher kommt die Summe$\sum_{n = -\infty}^{\infty}$komme aus?

Die Standardpfadintegralform für den Propagator eines freien Teilchens ist

wobei das Integral über alle Pfade läuft$x(\tau)$Randbedingungen erfüllen$x(0) = x_{1}$Und$x(\beta)=x_{2}$, Und$S_{E}$ist die euklidische Aktion.

Der Kern dieser Antwort beruht darauf, dass wir im Pfadintegral über alle möglichen Pfade integrieren, die die gegebenen Randbedingungen erfüllen. Was die Änderung der Variablen aus$x(\tau)$Zu$s(\tau)$macht, wie wir diese Pfade zählen, deutlicher.

In der Frage definieren wir eine Variable$s(\tau)$das befriedigt$s(0) = s(\beta) = 0$. Abgesehen von diesen Randbedingungen$s(\tau)$ist völlig unbeschränkt (dh sie ist nicht auf eine kreisförmige Topologie beschränkt). Nun, für jede Wahl von$s(\tau)$, können wir einen Pfad definieren

für eine ganze Zahl$n$, und dies ist ein gültiger Pfad für das Pfadintegral, da die kreisförmige Topologie bedeutet, dass wir Punkte modulo identifizieren$L$. Darüber hinaus zwischen den Auswahlmöglichkeiten für$s(\tau)$Und$n$haben wir alle möglichen Pfade aufgezählt, die die gegebenen Randbedingungen erfüllen.

Daher müssen wir im Ausdruck für den Propagator über integrieren$s(\tau)$und summieren$n$um sicherzustellen, dass wir alle möglichen Pfade berücksichtigen$x(\tau)$. Dies gibt uns den Ausdruck

mit$x_{n}(\tau)$wie oben angegeben.

2) Warum sollte$Z_{0}$das diagonale Matrixelement des Propagators sein$\mathbb{R}$?

Wie Sie in Ihrer Frage angegeben haben, die euklidische Wirkung$S_{E}[x_{n}(\tau)]$zerfällt in zwei Teile, gegeben durch

Wo$S_{n} = \frac{m}{2 \beta} \left[ (x_{2} - x_{1}) + n L \right]^{2}$. Diese Trennung ist hilfreich, weil sie die Abhängigkeit voneinander trennt$n$Und$s(\tau)$.

Seit$S_{n}$eine Konstante ist, können wir sie aus dem Pfadintegral ausklammern. Dieser Teil gibt den Summand im Ausdruck für den Propagator an, den Sie abzuleiten versuchen.

Der verbleibende Teil ist

wo wir daran erinnern, dass der Pfad$s(\tau)$hat die Randbedingungen$s(0) = s(\beta) = 0$, ist aber ansonsten uneingeschränkt (dh nicht auf eine kreisförmige Topologie beschränkt). Aber das ist genau das, was wir für den Propagator eines freien Teilchens schreiben würden, das sich in einer Dimension bewegt$x=0$Zu$x=0$in imaginärer Zeit$\beta$! Und aufgrund der Translationsinvarianz sollte dies nicht davon abhängen, dass das Teilchen bei beginnt und endet$x=0$, nur die Tatsache, dass der Pfad periodisch ist. Daher gibt uns der verbleibende Teil$Z_{0} = \langle x | e^{-\beta H} | x \rangle$für ein freies Teilchen, das sich auf der reellen Linie bewegt. Dies ist das "diagonale" Matrixelement des Propagators, weil es einfach der Propagator ist$\langle x_{2} | e^{-\beta H} | x_{1} \rangle$bewertet bei$x_{1} = x_{2} = x$.

Ich bin auf dem Handy, kann also keine Gleichungen geben, wird sehr handwellig sein. Falls Sie weitere Erklärungen benötigen, werde ich darauf eingehen. Für Räume mit nicht trivialen Topologien wie dem hier gefragten Fall müssen Sie, um zu einer korrekten integralen Darstellung des Kontinuumspfads zu gelangen, die Auflösung von Identitäten verwenden, die dem betrachteten Zustandsraum entsprechen, dh Doppelzählungen vermeiden. Außerdem müssen Sie für diesen Fall die Poisson-Summenformel verwenden. Sie können eine sehr gute Diskussion darüber in den Büchern von Kleinert oder Schulman finden.