Freier Teilchenpropagator - Auswertung des Integrals [geschlossen]

Im Wegintegralformalismus erhalten wir bei der Auswertung des freien Teilchenpropagators das funktionale Integral der Form,

$$K_0 = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{m}{2\pi i\tau}\bigg)^\frac{n}{2} \int \prod_{i=1}^{n-1}dx_i \; \exp\bigg(\frac{im\tau}{2}\sum_{j=0}^{n-1}(x_{j+1} - x_j)^2\bigg).$$

Zunächst einmal, denn ich muss zuerst nach etwas Endlichem auflösen$n$Fall und dann per Induktion verallgemeinern. Aber selbst für den endlichen Fall bin ich verwirrt, wie man das Integral macht. Zum Beispiel mit$n=2$Fall erhalte ich ein Integral der Form,

$$I = \bigg( \frac{m}{2\pi i\tau}\bigg) \int dx_1e^{\frac{im\tau}{2} \bigg((x_{2} - x_1)^2+(x_{1} - x_0)^2\bigg)}.$$

Wie soll ich dieses Integral lösen? Ich weiß, dass es nur um einen trivialen Substitutionstrick geht, aber ich bin verwirrt, welchen Weg ich gehen soll.

BEARBEITEN :

Nach ein wenig Auswertung des Integrals komme ich auf ein Integral der Form

$$\int_{0}^{\infty} e^{iax^2}\;dx$$ und eine Substitution damit vorzunehmen $s= -iax^2$Und $dx = \frac{ds}{\sqrt{-ias} }$, aber wie bewertet man diese Art von Integral (ich meine, welche Art von Kontur können wir wählen) $$\int_{0}^{i\infty} \frac{ds}{\sqrt{-ias}} e^{-s}$$

PS: Ein Diagramm der Kontur wird sehr hilfreich sein :)