Doppelspaltexperiment – Detektionswahrscheinlichkeit unter Verwendung der Pfadintegralformulierung

Question

Doppelspaltexperiment – Detektionswahrscheinlichkeit unter Verwendung der Pfadintegralformulierung

Physik
Wegintegral
Quantenmechanik
Doppelspalt-Experiment
Hausaufgaben-und-Übungen

iron2man

Ich interessiere mich sehr für den Formalismus von Pfadintegralen, daher möchte ich mein Verständnis konzeptionell und rechnerisch verbessern.

Stellen Sie sich vor, wir haben ein freies Massenteilchen $m$ ein $x=L$ Entfernung von einem Detektor bei $t=0$ und eine Barriere mit zwei Schlitzen an $y=\pm a$ . Sowohl die Barriere als auch der Detektor ragten aus $-\infty$ Zu $\infty$ in y-Richtung. Der Abstand des Barriereschlitzes zum Partikel ist $x=L/2$ .

Was ich versuche zu bestimmen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen im Detektor gemessen wird $\mathbb{P}(y,T)$ an Stelle $(L,y)$ . Wo $T$ ist die Zeit, zu der es am Detektor ankommt.

Die Wahrscheinlichkeit, dieses Teilchen zu entdecken, wird durch die mögliche Amplitude seiner Flugbahn bestimmt (unter der Annahme, dass es dem klassischen Weg folgt):

P (j, T) = | A_{1}^{'} + A_{2}^{'} |^{2}

$\mathbb{P}(y,T) = |A'_{1} + A'_{2}|^{2}$ Wo

A^{'}

$A'$ ist die Amplitude vom Propagator.

das Teilchen kann nur zwei Wegen folgen, hauptsächlich den Weg vom ersten Spalt zum Detektor, den ich nennen werde $\mathcal{O}_{1}$ und durch den zweiten Schlitz zum Detektor $\mathcal{O}_{2}$ . Jeder Pfad hat unabhängige Zeittrajektorien.

Die Überlappung der Partikelreise zum Detektor kann definiert werden als

\begin{aligned} ⟨ B, T = T | A, T = 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle B,t=T |A,t=0\rangle \end{align}$ Wo

B

$B$ ist die Punktquelle auf dem Bildschirm und

A

$A$ ist die Ursprungsquelle der Partikel.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Partikel, im Laufe der Zeit einen der beiden Wege zu nehmen $T$ zum Detektor ist 1, also kann das obige als Propagator geschrieben werden:

\begin{aligned} ⟨ B, T | A, 0 ⟩ = \int_{0}^{T} D T_{1} ⟨ B, T | Ö_{1}, T_{1} ⟩ ⟨ Ö_{1}, T_{1} | A, 0 ⟩ + \int_{0}^{T} D T_{2} ⟨ B, T | Ö_{2}, T_{2} ⟩ ⟨ Ö_{2}, T_{2} | A, 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle = \int_{0}^{T} dt_{1} \langle B,T |\mathcal{O}_{1},t_{1} \rangle \langle \mathcal{O}_{1},t_{1}| A,0 \rangle + \int_{0}^{T} dt_{2} \langle B,T |\mathcal{O}_{2},t_{2} \rangle \langle \mathcal{O}_{2},t_{2}| A,0 \rangle \end{align}$

Der Propagator für freie Teilchen ist allgemein definiert als:

\begin{aligned} U_{F R e e} (Q^{'}, T^{'}; Q, T_{0}) = \sqrt{\frac{M}{2 π ich ℏ (T^{'} - T_{0})}} \exp (- \frac{ich}{ℏ} (\frac{M}{2} \frac{Δ Q^{2}}{Δ T})) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{U}_{free}(q',t' ; q,t_{0}) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar (t' -t_{0})}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ \Delta q^{2} }{\Delta t} \right) ) \end{align}$

Also für eine der Portionen in der Vermehrung:

\begin{aligned} ⟨ Ö_{1}, T_{1} | A, 0 ⟩ & = \sqrt{\frac{M}{2 π ich ℏ T_{1}}} \exp (- \frac{ich}{ℏ} (\frac{M}{2} \frac{X_{1}^{2}}{T_{1}})) \end{aligned}

$\begin{align} \langle \mathcal{O}_{1},t_{1} | A,0\rangle &= \sqrt{\frac{m}{2 \pi i \hbar t_{1}}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ x_{1}^{2} }{t_{1}} \right) ) \end{align}$ Wo

x_{1}

$x_{1}$ ist die Position am Schlitz

(Δ x = x_{1} - 0)

$(\Delta x = x_1 - 0)$

Wenn ich dies auf alle vier anwende und kombiniere, erhalte ich dann:

\begin{aligned} ⟨ B, T | A, 0 ⟩ = \frac{M}{2 π ich ℏ} (\int_{0}^{T} D T_{1} \frac{\exp (- \frac{ich M}{2 π} (\frac{X_{1}^{2}}{T_{1}} - \frac{X_{1}^{' 2}}{T - T_{1}}))}{T_{1} (T - T_{1})} + \int_{0}^{T} D T_{2} \frac{\exp (- \frac{ich M}{2 π} (\frac{X_{2}^{2}}{T_{2}} - \frac{X_{2}^{' 2}}{T - T_{2}}))}{T_{2} (T - T_{2})}) \end{aligned}

$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle = \frac{m}{2 \pi i \hbar}\left( \int_{0}^{T} dt_{1} \frac{ \exp( -\frac{i m}{2\pi} \left( \frac{x_{1}^{2}}{t_{1}} - \frac{x_{1}'^{2}}{T-t_{1}} \right) ) }{t_{1}(T - t_{1})} + \int_{0}^{T} dt_{2} \frac{ \exp( -\frac{i m}{2\pi} \left( \frac{x_{2}^{2}}{t_{2}} - \frac{x_{2}'^{2}}{T-t_{2}} \right) ) }{t_{2}(T - t_{2})} \right) \end{align}$

Also, das ist jetzt der Teil, bei dem ich feststecke.

Wie werden sowohl die x- als auch die y-Dimension in diesem Integral, das ich oben habe, richtig berücksichtigt?
Wie berechne ich dann die Schlitzbreiten richtig?

Ein anderer Ansatz besteht darin, einfach die Wirkung des Partikels zu betrachten, da wir seine Lagrangian kennen, und von dort aus zu arbeiten und zu berücksichtigen, dass die Partikelannäherung an den Schlitz symmetrisch zu jedem seiner Pfade ist.

\begin{aligned} U = \int_{X = L / 2, T = T^{'}}^{L, T} \int_{j = 0, T = 0}^{j, T} D e^{ich \int D T L} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{U} = \int_{x=L/2,t=t'}^{L,T} \int_{y=0,t=0}^{y,T} \mathcal{D} e^{i\int dt \mathcal{L}} \end{align}$

wo die Lagrangian (nicht die Dichte) unseres freien Teilchens ist

\begin{aligned} L = \frac{M}{2} ({\dot{X}}^{2} + {\dot{j}}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L} = \frac{m}{2}( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} ) \end{align}$

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PianoEntropie · Answer 1

Wie ich es verstehe, besteht Ihre größte Herausforderung darin, der Formulierung des Problems, das Sie bereits haben, eine zweite Dimension hinzuzufügen. Im Folgenden werde ich eine vorgeschlagene Skizze geben, wie dies zu tun ist.

Zunächst können wir den Propagator für ein freies Teilchen auf verallgemeinern $\mathbb{R}^n$ . Die Berechnung sollte ähnlich der in 1D sein. Schreiben Sie in Bezug auf $\exp^{-iH(t'-t_0)}$ , Einfügung $\int dp_i |p_i \rangle\langle p_i|$ wenden Sie den Hamiltonian ein paar Mal auf an $\langle p|$ , vereinfache den Ausdruck und bilde das Integral. Sie sollten dieses Ergebnis überprüfen, aber ich glaube, es ist so

\begin{aligned} U_{F R e e} ({\vec{Q}}^{'}, T^{'}; \vec{Q}, T_{0}) = (\frac{M}{2 π ich ℏ (T^{'} - T_{0})})^{\frac{N}{2}} \exp (- \frac{ich}{ℏ} (\frac{M}{2} \frac{(Δ Q)^{2}}{Δ T})) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{U}_{free}(\vec{q}',t' ; \vec{q},t_{0}) = (\frac{m}{2 \pi i \hbar (t' -t_{0})})^{\frac{n}{2}} \exp( - \frac{i}{\hbar} \left( \frac{m}{2} \frac{ (\Delta q)^{2} }{\Delta t} \right) ) \end{align}$ Wo

(Δ q)^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (q_{i})^{2}

$(\Delta q)^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}(q_i)^2$ Jetzt.

Nehmen wir als nächstes an, dass der Schlitz eine Breite hat $\epsilon$ , so dass es sich dazwischen befindet $y=\pm a-\epsilon$ Und $y=\pm a+\epsilon$ . Das heißt, das Teilchen muss hindurch $(x,y)$ Wo $y\in [-a-\epsilon, -a+\epsilon]\cup[a-\epsilon, a+\epsilon]$ . Wir berücksichtigen dies, indem wir ein zusätzliches Integral über addieren $y$ . Schreiben $(x_1,y_1)$ für die Position des ersten Schlitzes, durch den es geht, und ebenso für den zweiten Schlitz, erhalten wir

\begin{aligned} ⟨ B, T | A, 0 ⟩ & = \int_{0}^{T} D T_{1} \int_{- A - ϵ}^{- A + ϵ} D j_{1} ⟨ B, T | (X_{1}, j_{1}), T_{1} ⟩ ⟨ (X_{1}, j_{1}), T_{1} | A, 0 ⟩ \\ + \int_{0}^{T} D T_{1} \int_{A - ϵ}^{A + ϵ} D j_{2} ⟨ B, T | (X_{2}, j_{2}), T_{2} ⟩ ⟨ (X_{2}, j_{2}), T_{2} | A, 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle B,T | A,0 \rangle &= \int_{0}^{T} dt_{1} \int\limits_{-a-\epsilon}^{-a+\epsilon} dy_1 \langle B,T |(x_1,y_1),t_{1} \rangle \langle (x_1,y_1),t_{1}| A,0 \rangle \\ &+ \int_{0}^{T} dt_{1} \int\limits_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} dy_2 \langle B,T |(x_2,y_2),t_{2} \rangle \langle (x_2,y_2),t_{2}| A,0 \rangle \end{align}$

Wenn Sie den Ausdruck für den freien Propagator einfügen und das Integral ausführen, sollten Sie den endgültigen Ausdruck erhalten. Ich habe diese Berechnung nicht durchgeführt und es ist nicht sicher, ob es einen Ausdruck in Bezug auf elementare Funktionen gibt (dh Sie müssen prüfen, ob das Integral explizit berechnet werden kann).

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iron2man

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PianoEntropie

Benutzer130529

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iron2man

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PianoEntropie

Benutzer130529

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