Ableitung des Feynman-Pfadintegrals

Question

Ableitung des Feynman-Pfadintegrals

Umlaufbahn

Ich habe einige Probleme, einen Teil der Ableitung der Pfadintegralformulierung von QM zu verstehen, sagen wir, ich habe den Propagator, dann können wir ihn in N Teile st aufteilen

\begin{matrix} (1) & [X^{'}, T_{1}; X_{0}, T_{0}] = [X^{'}; e^{ich H Δ T / ℏ} . . . ._{N T ich M e S} . . . . e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{0}], \end{matrix}

$[x',t_1;x_0,t_0]=[x';e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar}...._{N\ times}....e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_0], \tag{1}$

definieren $[a;b]$ Bra-Kets zu sein, bzw. und $\textbf{H}$ unser Hamilton-Operator, bei dem wir Teilchen vom Punkt nehmen $x_0$ bei $t_0$ darauf hinweisen $x'$ bei $t_1$ und die Intervalle sind gebrochen, uns gebend $\Delta t=(t_1-t_0)/N$ .

Somit können wir umschreiben als

\begin{matrix} (2) & [X^{'}, T_{1}; X_{0}, T_{0}] = [X_{N}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 1}] . . . [X_{1}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{0}] \end{matrix}

$[x',t_1;x_0,t_0]=[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}]...[x_1;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{0}] \tag{2}$ Für mich hätten wir

\begin{matrix} (3) & [X_{N}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 1}] = \int D X_{N - 1} [X_{N}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 1}] [X_{N - 1}; X_{N - 1}]; \end{matrix}

$[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}]=\int dx_{N-1}[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}][x_{N-1};x_{N-1}]; \tag{3}$ Wo ich die Identität verwendet habe

\begin{matrix} (4) & 1 = \int D X; X_{N}] [X_{N}; \end{matrix}

$1 = \int dx\ ;x_N][x_N; \tag{4}$

Ich denke, wir hätten so etwas wie diese Gleichung, nachdem wir (2) in integraler Form gelöst haben:

[X^{'}, T_{1}; X_{0}, T_{0}] =

$[x',t_1;x_0,t_0]=$

\int D X_{N - 1} [X_{N}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 1}] [X_{N - 1}; X_{N - 1}] \int D X_{N - 2} [X_{N - 1}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 2}] [X_{N - 2}; X_{N - 2}] . . . \times \int D X_{0} [X_{1}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{0}] [X_{0}; X_{0}] (5)

$\int dx_{N-1}[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}][x_{N-1};x_{N-1}] \int dx_{N-2}[x_{N-1};e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-2}][x_{N-2};x_{N-2}]... \\ \times\int dx_{0}[x_1;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{0}][x_{0};x_{0}] \qquad (5)$

aber Bücher sagen folgendes:

[X^{'}, T_{1}; X_{0}, T_{0}] =

$[x',t_1;x_0,t_0]=$

\int D X_{1} . . . \int D X_{N - 1} [X_{N}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 1}] [X_{N - 1}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{N - 2}] . . . [X_{2}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{1}] [X_{1}; e^{ich H Δ T / ℏ}; X_{0}]

$\int dx_1 ... \int dx_{N-1}[x_N;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-1}][x_{N-1};e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{N-2}]...[x_2;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{1}] [x_1;e^{i\textbf{H}\Delta t/\hbar};x_{0}]$

Und ich kann nicht verstehen, warum.

Hier also meine Fragen:

Habe ich bei meiner Ableitung einen Fehler gemacht?
Warum gilt die letzte Gleichung? Anstatt die Propagatoren in jedem Integral zu haben.

J. Murray

Nur eine Anmerkung zur Konvention - die Standardschreibweise für Klammern verwendet normalerweise die spitzen Klammern

⟨

$\langle$ (\langle) und

⟩

$\rangle$ (\rangle) anstelle von eckigen Klammern für Zustandsvektoren.

Antworten (2)

Ableitung des Feynman-Pfadintegrals

Nur eine Anmerkung zur Konvention - die Standardschreibweise für Klammern verwendet normalerweise die spitzen Klammern $\langle$ (\langle) und $\rangle$ (\rangle) anstelle von eckigen Klammern für Zustandsvektoren.

J. Murray · Answer 1

Wenn Sie den Identitätsoperator zwischen jeden Ihrer Infinitesimalpropagatoren einfügen, müssen Sie über alle Zwischenzustände integrieren. Mit anderen Worten,

⟨ X_{N} | e^{- ich H Δ T} e^{- ich H Δ T} \dots e^{- ich H Δ T} | X_{0} ⟩ =

$\langle x_N|e^{-iH\Delta t} e^{-iH \Delta t} \ldots e^{-iH\Delta t}|x_0\rangle =$

⟨ X_{N} | e^{- ich H Δ T} (\int D X_{N - 1} | X_{N - 1} ⟩ ⟨ X_{N - 1} |) e^{- ich H Δ T} (\int D X_{N - 2} | X_{N - 2} ⟩ ⟨ X_{N - 2} |) e^{- ich H Δ T} \dots | X_{0} ⟩

$\langle x_N|e^{-iH\Delta t}\left(\int dx_{N-1}|x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|\right)e^{-iH\Delta t}\left(\int dx_{N-2}|x_{N-2}\rangle\langle x_{N-2}|\right)e^{-iH\Delta t}\ldots |x_{0}\rangle$ Bei diesem Schritt haben Sie nicht über alle Zwischenzustände integriert. Ich bin mir nicht sicher, was Sie genau tun wollten - Sie haben Dummy-Variablen recycelt und danach neue Statussätze eingefügt oder so.

Von dort aus können Sie alle Integralzeichen nach links ziehen (das macht nichts, es entwirrt nur die Notation) und Sie finden, dass dies gleich ist

\int D X_{N - 1} \int D X_{N - 2} . . . \int D X_{1} ⟨ X_{N} | e^{- ich H Δ T} | X_{N - 1} ⟩ ⟨ X_{N - 1} | e^{- ich H Δ T} | X_{N - 2} ⟩ ⟨ X_{N - 2} | \dots | X_{1} ⟩ ⟨ X_{1} | e^{- ich H Δ T} | X_{0} ⟩

$\int dx_{N-1}\int dx_{N-2}...\int dx_1 \langle x_N|e^{-iH\Delta t}|x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|e^{-iH\Delta t}|x_{N-2}\rangle\langle x_{N-2}|\ldots|x_1\rangle\langle x_1|e^{-iH\Delta t}|x_0\rangle$

so wie das Buch es behauptet.

Vielen Dank, jetzt macht es für mich Sinn, warum wir die Integrale nach links spülen und der Rest auf die rechte Seite der Gleichung geworfen werden kann. Ich habe falsch verstanden, was nach der ersten Gleichheit passiert, jetzt ist alles klar.

Darkseid · Answer 2

Ich glaube, dass Sie ein Problem in Schritt 2 haben . Der $|x_{N-1} \rangle$ das in Ihrer Ableitung aus dem Nichts kommt, erscheint tatsächlich, weil wir die Vollständigkeitsrelation verwenden (wie in Ihrem Schritt 4 ). Wir setzen dieses Integral zwischen zwei ein $e^{i\mathbf{H}\Delta t/\hbar}$ .

Die Zustände sind normalisiert: $\langle i| i \rangle = 1$ . Es spielt keine Rolle, wie viele davon im endgültigen Ausdruck vorhanden sind.

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J. Murray

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J. Murray

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