Entwicklung des harmonischen Oszillators in Pfadintegralformulierung

Question

Entwicklung des harmonischen Oszillators in Pfadintegralformulierung

Benutzer111187

Der nicht normalisierte Grundzustand des harmonischen Oszillators (die Einheiten so wählen, dass $m = \hbar = \omega = 1)$ Ist

\begin{matrix} (1) & ψ (Q, T) = \exp (- Q^{2} / 2 - ich T / 2) . \end{matrix}

$\tag{1}\psi(q,t) = \exp(-q^2/2-it/2).$

Die Übergangsfunktion ist

\begin{matrix} (2) & W (Q_{2}, T_{2}, Q_{1}, T_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π ich S}} \exp [\frac{ich}{2 S} ((Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2}) C - 2 Q_{1} Q_{2})], \end{matrix}

$\tag{2}W(q_2,t_2,q_1,t_1) = \dfrac{ 1}{ \sqrt{2\pi i S} }\exp \left[ \dfrac{i}{2S}\left((q_1^2 + q_2^2)C - 2q_1 q_2 \right) \right],$ Wo

S = \sin (t_{2} - t_{1})

$S = \sin(t_2 - t_1)$ Und

C = \cos (t_{2} - t_{1})

$C = \cos(t_2 - t_1)$ .

Aus allgemeinen Erwägungen hätten wir es tun sollen

\begin{matrix} (3) & ψ (T_{2}, Q_{2}) = \int_{- \infty}^{\infty} D Q_{1} W (Q_{2}, T_{2}, Q_{1}, T_{1}) ψ (T_{1}, Q_{1}) . \end{matrix}

$\tag{3}\psi(t_2,q_2) = \int_{-\infty}^{\infty}\! dq_1\, W(q_2,t_2,q_1,t_1)\psi(t_1,q_1).$

Können wir dies auch zeigen, indem wir das Integral explizit für den gegebenen Zustand berechnen? Meine Versuche dazu sind gescheitert; insbesondere erhalte ich nie die korrekte Zeitabhängigkeit $\propto \exp(-it_2/2)$ im Endergebnis.

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Entwicklung des harmonischen Oszillators in Pfadintegralformulierung

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Bei der Übung von OP geht es im Wesentlichen darum, ein oszillierendes Gaußsches Integral (3) über der Anfangsposition zu überprüfen $q_1$ .
Lassen $\Delta t_M:=t_2-t_1>0$ . Um das Gaußsche Integral konvergent zu machen, fügen Sie Feynman ein $i\epsilon$ Verschreibung $\Delta t_M\to\Delta t_M-i\epsilon$ . Oder äquivalent Wick-rotate $\Delta t_E:=i\Delta t_M$ , Wo ${\rm Re}(\Delta t_E)>0$ . Hier die Buchstaben $M$ Und $E$ steht für Minkowski bzw. Euklid.
Beachten Sie, dass $iS:=i\sin\Delta t_M=\sinh\Delta t_E$ Und $C:=\cos\Delta t_M=\cosh\Delta t_E$ .
Führen Sie das konvergente Gaußsche Integral (3) über der reellen Variablen durch $q_1$ .
Nach der Gaußschen Integration der neue Quadratwurzelfaktor $\dfrac{ 1}{ \sqrt{(C+i S}) }$ bringt das Gesuchte $t_2$ Abhängigkeit.

Kommentar zur Antwort (v4): Die Antwort geht implizit davon aus, dass wir den ersten Caustic/Wendepunkt nicht passiert haben $\Delta t_M < \pi$ .

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Benutzer111187

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QMechaniker

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