Renormalisierung des harmonischen Oszillators

Question

Renormalisierung des harmonischen Oszillators

OK dann

In Anhang A führt Polchinski das euklidische Pfadintegral für den harmonischen Oszillator durch. Nachdem Pauli-Villars die Determinante des kinetischen Terms regularisiert hat, erhält er folgenden Ausdruck (A.1.62):

\begin{matrix} (A.1.62) & ⟨ Q_{F}, U | Q_{ich}, 0 ⟩ \to {(\frac{ω}{2 Sünde ω U})}^{1 / 2} \exp [- S_{C l} (Q_{ich}, Q_{F}) + \frac{1}{2} (Ω U - \ln Ω) - S_{C T}] . \end{matrix}

$\langle q_f, U | q_i, 0 \rangle \to \left( \frac{\omega}{2 \sinh \omega U} \right)^{1/2} \exp \left[ - S_{cl}(q_i,q_f) + \frac{1}{2}\left( \Omega U - \ln \Omega \right) - S_{ct} \right] \tag{A.1.62}.$

Wo $\Omega$ ist eine Frequenzskala.

Im Folgenden sagt er:

„Um eine endliche Antwort zu bekommen, wie $\Omega \to \infty$ , müssen wir zuerst einen Begriff einfügen $\frac{1}{2} \Omega$ im Lagrange $L_{ct}$ , wodurch die lineare Divergenz in (A.1.62) aufgehoben wird. Das heißt, es gibt eine linear divergente bloße Kopplung für den Operator 1. Es mag seltsam erscheinen, dass wir in einem quantenmechanischen Problem renormieren müssen, aber die Leistungszählung ist völlig einheitlich mit der Quantenfeldtheorie. Die logarithmische Divergenz ist eine Renormierung der Wellenfunktion.

Was bedeutet der kursive Satz? Der Betreiber $1$ sollte sich um einiges ändern $Z. 1$ ? Warum ist der Logarithmus eine Wellenfunktionsrenormierung? Und zählt er was?

Antworten (1)

Renormalisierung des harmonischen Oszillators

QMechaniker · Answer 1

Wir erlauben Gegenbegriffe $L_{\rm ct}= \sum_X \delta_X ~X$ aller möglichen Körpermonome/"Operator" $X$ im Lagrange. Hier brauchen wir $\delta_1 =\frac{\Omega}{2}$ für das konstante Monom $X=1$ .
Seit $\Omega$ erscheinen linear in $\delta_1$ , sprechen wir von einer linearen Divergenz. Grundsätzlich $\Omega$ hätte in anderen Mächten auftreten können, vgl. Macht zählen.
Die Renormierung der Wellenfunktion (auch bekannt als Renormierung der Feldstärke) bedeutet die Normierung des Skalarprodukts $^1$ $\langle q_f, U | q_i, 0 \rangle$ wird mit einem Faktor verändert $\sqrt{\frac{\pi}{\Omega}}$ . Oben in einer Exponentialfunktion wird dies zu einem Logarithmus.

--

$^1$ Hier $U=iT$ bezeichnet die euklidische Zeit.

Für einen gewöhnlichen harmonischen Oszillator sieht es so aus, als würden wir gegen ein Artefakt kämpfen ( $\Omega$ ) mit einem anderen (Gegenbegriff), oder?
Nein, im Ernst, in einem gewöhnlichen harmonischen Oszillator haben wir keine $\Omega$ überhaupt, also sieht sein Erscheinen und Verschwinden für mich künstlich aus. Liege ich falsch?

Renormalisierung des harmonischen Oszillators

OK dann

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QMechaniker

Wladimir Kalitwjanski

QMechaniker

Wladimir Kalitwjanski

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