Wie kann man das Wegintegral für den harmonischen Oszillator direkt mit der Brute-Force-Methode auswerten?

1. Vom harmonischen Oszillator ist bekannt, dass nach einer Dochtrotation

   $$t^E ~\equiv~ i t^M$$ zur euklidischen Zeit, dann ist der Feynman- Propagator /kernel/amplitude $$K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)~=~ \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi\hbar \sinh(\omega\Delta t^E_{21}) }}\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}S^E(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)\right\},\tag{1}$$ Wo $$S^E(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)~=~\frac{m\omega}{2}\left((x_2^2+x_1^2)\coth(\omega\Delta t^E_{21})-\frac{2x_2x_1}{\sinh(\omega\Delta t^E_{21})}\right) \tag{2}$$ ist die euklidische Dirichlet-On-Shell-Aktion.

2. Es gibt viele Möglichkeiten, Gl. (1) durch direkte/Brute-Force-Pfadintegration. Z.B:

   • Die einfachste Methode besteht vielleicht darin, eine endliche Zahl einzufügen$N$von Vollständigkeitsbeziehungen in die Überlappung$\langle x_2,t^E_2;x_1,t^E_1 \rangle$, wodurch es einbricht$N+1$Überlappungen gleicher Zeitschritte. Als nächstes leiten Sie eine Rekursionsrelation in ab$N$, und nehmen Sie die Kontinuumsgrenze$N\to \infty$, siehe z. B. Lit. 4 & 5.

   • Bewerten Sie eine funktionale Determinante , siehe z. 2 und dieser verwandte Phys.SE-Beitrag. Verwenden Sie alternativ die Gelfand-Yaglom-Formel .

   • Für$\omega\Delta t^E_{21}\ll 1$, kann man perturbative WKB-Verfahren verwenden.

   • Wenn der Feynman-Propagator/Kernel/Amplitude$K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)$für das freie Teilchen bekannt ist, gibt es einen genialen Trick, um es abzuleiten$K(x_2,t^E_2;x_1,t^E_1)$zum harmonischen Oszillator vgl. Ref. 3.

3. Einmal Gl. (1) gefunden wird, vielleicht durch handwinkende Argumente, gibt es einen strengen Weg, dies zu überprüfen: Führen Sie eine einzelne Gaußsche Integration durch$x_2$um die integrale Eigenschaft des Pfads zu überprüfen

   $$K(x_3,t_3^E;x_1,t_1^E)~=~\int_{\mathbb{R}} \! dx_2~ K(x_3,t_3^E;x_2,t_2^E)~K(x_2,t_2^E;x_1,t_1^E), \tag{3}$$ das ist die Signatureigenschaft für eine Summe über Historien. Gl. (3) folgt direkt aus Gl. (1)-(2), die Gaußsche Integrationsformel und die Additionsformeln für$\coth$&$\sinh$.

4. Insbesondere wenn Gl. (1) wurde ursprünglich nur für kurze Zeit etabliert,$\omega\Delta t^E_{21}\ll 1$, dann wiederholte Anwendung von Gl. (3) kann verwendet werden, um Gl. (1) für lange Zeit im Geiste der Pfadintegration.

Verweise:

1. RP Feynman & AR Hibbs, Quantenmechanik und Pfadintegrale, 1965; Gl. (3,59)-(3,60).

2. J. Polchinski, Stringtheorie Bd. 1, 1998, Anhang A.

3. L. Moriconi, Eine elementare Ableitung des Harmonic Oscillator Propagator, Am. J. Phys. 72 (2004) 1258 , arXiv:physics/0402069 . (Huttipp: OP .)

4. SM Cohen, Path Integral for the Quantum Harmonic Oscillator Using Elementary Methods , Am. J. Phys. 66 (1998) 537 .

5. K. Hira, Eur. J. Phys. 34 (2013) 777 .

Das Pfadintegral in der Quantenmechanik kann definiert werden als:

wo, wie das OP angemerkt hat, man die Zeit "in Scheiben" schneidet$N+1$Segmente und die Idee ist, dass der Propagator durch die formale Grenze als gegeben ist$N \to \infty$. Basierend auf diesem Artikel scheint es, dass Konvergenz von Fujikawa in der Normoperatortopologie etabliert wurde, in$\mathcal{B}(L^2(\mathbb R^d))$vorausgesetzt, das Potential ist glatt mit höchstens quadratischem Wachstum (z. B. ein harmonischer Oszillator).

Dies wurde erweitert, um Konvergenzreste zu zeigen, vorausgesetzt, dass Ableitungen im zweiten Raum vorhanden sind$H^{d+1}(\mathbb R^d)$. Diese Ergebnisse zeigen, dass wir erwarten können, den ursprünglichen Propagator in der Kontinuumsgrenze tatsächlich wiederzugewinnen.

Allerdings für jede endliche$N$, können wir nichts anderes erwarten, als den Propagator zu approximieren ; wir können die Integration natürlich unendlich oft einfach durchführen. Tatsächlich wird dies ursprünglich getan, um das Muster zu bemerken, das auftaucht, das es ermöglicht, das zu nehmen$N\to\infty$Grenze.