Harmonischer Oszillator-Propagator

Ich lese gerade das Buch über die Quantenfeldtheorie von Anthony Duncan, und ich bin ein wenig verloren in Sachen Propagatoren.

Er definiert zunächst den Propagator K ( Q F , T ; Q ich , 0 ) als die Amplitude der Erkennung eines Teilchens, das ursprünglich bei war Q ich zum Zeitpunkt 0 an einem anderen Ort Q F irgendwann t, also:

K ( Q F , T ; Q ich , Ö ) =< Q F | e − ich H T | Q ich >

Und dann für den einfachen harmonischen Oszillator:

H = P 2 2 M + 1 2 M w 2 Q 2

Er sagt, dass der Propagator die Differentialgleichung erfüllt:

ich ∂ ∂ T K ( Q F , T ; Q ich , 0 ) = − 1 2 M ∂ 2 K ( Q F , T ; Q ich , 0 ) ∂ Q F 2 + 1 2 M w 2 Q F 2 K ( Q F , T ; Q ich , 0 )

Und ich habe keine Ahnung, woher diese Gleichung kommt. Ich vermute, es ist eine Schrödinger-ähnliche Gleichung, aber K ist eine Amplitude, kein Zustands-Ket, also bin ich verloren.

Hat jemand eine Ahnung?

Aus einer Perspektive fragt man sich nur wie ∂ ∂ T ⟨ X | e A T | j ⟩ = ⟨ X | A e A T | j ⟩ = A ⟨ X | e A T | j ⟩ Sinn machen sollte. Ist der Fall ohne den Begriff P 2 2 M klar?
Ja, jetzt ist es wirklich klar!

Antworten (1)

Das Matrixelement ⟨ X | ψ ⟩ Wo X variieren darf, ist nur die Wellenfunktion

ψ ( X ) = ⟨ X | ψ ⟩ .

Also das Matrixelement ⟨ X | P | ψ ⟩ ist nur die Wellenfunktionsdarstellung des Zustands P | ψ ⟩ . Wir wissen, dass der Impulsoperator in der Wellenfunktionsdarstellung als Ableitung wirkt, also

⟨ Q F | P | ψ ⟩ = − ich ∂ ∂ Q F ψ ( Q F ) .

Auch | Q F ⟩ ist ein Eigenzustand der Q Operator (der selbstadjungiert ist) so

⟨ Q F | Q | ψ ⟩ = Q F ψ ( Q F ) .

Um nun die Differentialgleichung zu zeigen, nach der Sie suchen, nehmen Sie einfach | ψ ⟩ = e − ich H T | Q ich ⟩ , und beachten

ich ∂ ∂ T ⟨ Q F | ψ ⟩ = ⟨ Q F | H | ψ ⟩ = 1 2 M ⟨ Q F | P 2 | ψ ⟩ + 1 2 M ω 2 ⟨ Q F | Q 2 | ψ ⟩ .

Wenden Sie nun die obigen Identitäten zweimal an.

Ich würde sagen, die zweite Gleichung mit der Ableitung ist nicht so offensichtlich, oder?
Und wie löst man am besten die partielle Differentialgleichung für den Propagator K?
Nun, es ist die einzigartige fundamentale Lösung des Schr eqn für den Oszillator mit der kanonischen Anfangsbedingung für den Propagator (δ fctn für t = 0), sodass Sie den Mehler-Kernel sofort auf ein Dutzend verschiedene Arten erhalten, wie im WP-Artikel beschrieben
Harmonischer Oszillator-Propagator
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