Kohärente Staaten und ihre Existenz

Präambel:

(Dieser Teil stammt aus diesen Vorlesungsunterlagen .) Die Idee des kohärenten Zustands entstand aus der Studie von Glauber über die Kohärenzeigenschaften von quantisiertem Licht. Da das elektromagnetische Feld als harmonischer Oszillator quantisiert, kann ein elektrisches Einmodenfeld geschrieben werden als

$$\begin{align} E(r,t)= E_0 \boldsymbol{\epsilon} e^{-i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\hat a+ E_0 \boldsymbol{\epsilon} e^{i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\hat a^\dagger =\hat E^+(r,t)+\hat E^-(r,t) \end{align}$$ mit $\hat E^+(r,t)\sim \hat a e^{+i\omega t}$Und $\hat E^-(r,t)\sim \hat a^\dagger e^{-i\omega t}$Wo $\boldsymbol{\epsilon}$erklärt die Polarisierung des Feldes.

Für End- und Anfangszustände$\vert f\rangle$Und$\vert i\rangle$bzw. die Wahrscheinlichkeit, ein Photon zu detektieren, ist proportional zu

$$P_{fi}=\vert\langle f\vert \hat E^+(r, t)\vert i\rangle\vert^2$$ (da das Photon aus dem Anfangszustand vernichtet werden muss) also die Lichtintensität an einem Punkt $r$erhält man durch Summieren über alle Endzustände $$I(r,t)=\sum_{f} P_{fi}=\langle i\vert \hat E^{-} (r, t)\hat E^{+}(r, t)\vert i\rangle =\hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r,t) \hat E^{+}(r,t)\right)$$ für $\rho=\sum_{i,j} p_{ij}\vert i\rangle \langle j\vert$. Die Quantität $$G^{(1)}(r,r')= \hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r,t) \hat E^{+}(r',t)\right)$$ und allgemeiner $$G^{(n)}(r_1,\dots,r_n, r'_1,\ldots r'_n): = \hbox{Tr}\left(\rho \hat E^{-}(r_1,t) \ldots \hat E^{-}(r_n,t) \hat E^{+}(r_1',t)\ldots \hat E^{+}(r_n',t)\right)$$ ist der $n$Kohärenzfunktion 'ter Ordnung.

Für zwei Quellen befindet sich an$r_1$,$r_2$, die Lichtintensität an einem Punkt$r$erhält man so aus

$$\begin{align} I(r, t)\sim G^{(1)}(r_1,r_1)+G^{(1)}(r_1,r_1) + 2 \vert G^{(1)}(r_1,r_2)\vert \cos(\varphi(x_1,x_2)) \end{align}$$ wo die Korrelationsfunktionen berechnet werden mit $$\begin{align} \hat E^+(r, t)&= E_1^+(r, t)+ E_2^+ (r, t)\, ,\\ \hat E_i^{+}(r, t)&=E_i^+\left(r_i, t-\frac{s_i}{c}\right)\frac{e^{i(k-\omega/c)}}{s_i} \end{align}$$ Wo $s_i$ist der Abstand zwischen Quelle $i$und der Punkt $r$wo die Intensität berechnet werden soll. Also wenn $G^{(1)}(r_1,r_2)\ne 0$, zeigt die Intensität Interferenzstreifen. Das Maximum ist erreicht, wenn $G^{(1)}(r_1,r_2)$zerlegt in das Produkt zweier Funktionen $$\begin{align} G^{(1)}(r_1,r_2)= f_1(r_1)f_2(r_2)\, . \end{align}$$ Das Feld soll kohärent sein $n$-te Ordnung, wenn $G^{(n)}$faktorisiert.

Glauber kohärente Aussagen:

Dies geschieht, wenn der Zustand ein Eigenzustand des harmonischen Oszillators ist. Glauber zeigte, dass die kohärenten Zustände des harmonischen Oszillators (auch Glauber-kohärente Zustände genannt)

$$\begin{align} \vert \alpha\rangle=\sum_{n}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\vert n\rangle \qquad \alpha\in \mathbb{C} \tag{1} \end{align}$$ sind zu allen Aufträgen stimmig und befriedigen tatsächlich $\hat a\vert\alpha\rangle=\alpha\vert\alpha\rangle$. Beachten Sie das, da $\hat a$nicht hermitesch ist, sind ihre Eigenwerte nicht notwendigerweise reell.

Es stellt sich heraus, dass man auch schreiben kann

$$\begin{align} \vert \alpha \rangle &= D(\alpha)\vert 0\rangle \, , \qquad D(\alpha)=e^{\alpha \hat a^\dagger-\alpha^*\hat a} \tag{2} \end{align}$$ Wo $D(\alpha)$ist ein Übersetzungsoperator in $(x,p)$Raum, der den Grundzustand auf einen Punkt übersetzt $(x_0,p_0)$gegeben durch den Real- und Imaginärteil von $\alpha$. Das kann man leicht zeigen $$\begin{align} \hat a \vert\alpha\rangle = \hat a D(\alpha)\vert 0\rangle = D(\alpha)(\hat a+\alpha)\vert 0\rangle = \alpha D(\alpha)\vert 0\rangle =\alpha \vert\alpha\rangle\, . \end{align}$$ Diese Zustände haben eine Reihe interessanter Eigenschaften. Beispielsweise sättigen sie die Unschärferelation in dem Sinne, dass $$\begin{align} \Delta x\Delta p=\frac{\hbar}{2} \end{align}$$ für alle Zeiten. Die einzelnen Durchschnittswerte $$\begin{align} \langle x(t)\rangle \sim \cos(\omega t+ \phi_0)\, ,\qquad \langle p(t)\rangle \sim \sin(\omega t+ \phi_0) \tag{3} \end{align}$$ wie bei einem klassischen harmonischen Oszillator. (Siehe diesen Beitrag und diesen Beitrag für Details.)

Die kohärenten Zustände von Gl. (1) sind KEINE Eigenzustände des harmonischen Oszillator-Hamiltonoperators, daher ist ihre zeitliche Entwicklung nicht trivial. Es stellt sich jedoch heraus$\vert\alpha(t)\rangle =\vert e^{i\omega t}\alpha(0)\rangle$, dh die Evolution funktioniert genauso einfach wie der komplexe Parameter$\alpha$nimmt nur eine zeitabhängige Phase auf. Dies ist die Wurzel des Verhaltens von$\langle x(t)\rangle$Und$\langle p(t)\rangle$in Gleichung (3). Die kohärenten Zustände sind zeitlich stabil , in dem Sinne, dass die Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung ohne Verzerrung einfach zeitlich hin und her schwappt.

Perelmov kohärente Staaten:

Perelomov nutzte die Verschiebungseigenschaft von Gleichung (2), um den verallgemeinerten kohärenten Zustand als eine Übersetzung eines spezifizierten (oder Bezugs- ) Zustands zu definieren. Für den Drehimpuls ist dann der (Perelomov) kohärente Zustand

$$\begin{align} \vert\theta,\varphi\rangle = R(\theta,\varphi)\vert J,J\rangle := R_z(\varphi)R_y(\theta)\vert J,J\rangle\, \end{align}$$ (siehe auch diesen Beitrag über spinkohärente Zustände).

Mit den üblichen Werkzeugen kann dies auch geschrieben werden als

$$\begin{align} \vert\theta,\varphi\rangle &= e^{\zeta' J_-}e^{-\eta J_z}e^{\zeta J_+}\vert L,L\rangle \, ,\\ &=e^{\zeta' J_-}e^{-\eta J_z}\vert L,L\rangle \end{align}$$ Wo $$\begin{align} \zeta=\tan\frac{\theta}{2}e^{i\varphi}\, ,\qquad \eta= -2\log(\cos\vert\zeta\vert)\, . \end{align}$$ Denn der Raum überspannte sich $\{\vert J,M\rangle, M=-J,\ldots,J\}$endlichdimensional ist, das zeigt man leicht $J_-$kann keine Eigenzustände haben, daher lässt sich diese Eigenschaft von kohärenten Zuständen harmonischer Oszillatoren nicht verallgemeinern. Nichtsdestotrotz teilen verallgemeinerte kohärente Zustände andere Eigenschaften mit den kohärenten Zuständen harmonischer Oszillatoren. Zum Beispiel, $$\begin{align} \Delta \tilde J_x\Delta\tilde J_y=\frac{1}{4}\langle \tilde J_z\rangle \end{align}$$ Wo $\tilde J_i= R(\theta,\varphi) J_i R^{-1}(\theta,\varphi)$und alle Größen werden für den Zustand ausgewertet $\vert\theta,\varphi\rangle$. Auch dies sind keine Eigenzustände von $J_z$aber sie haben "nette" Evolutionseigenschaften, wenn $H=\omega J_z$.

Zusammenhang mit klassischer Grenze:

Schließlich Onofri [in Onofri, Enrico. "Eine Anmerkung zu kohärenten staatlichen Darstellungen von Lie-Gruppen." Journal of Mathematical Physics 16.5 (1975): 1087-1089 ; leider kann ich dazu keine Open-Access-Datei finden] zeigte, dass man mit der Definition von Perelomov eine (klassische) Poisson-Klammer über die Variable konstruieren könnte$\zeta$und sein Konjugat oder die Verallgemeinerung dieser Variablen, wenn etwas anderes als der Drehimpuls betrachtet wird. Im Falle des Drehimpulses wird diese Klammer geschrieben als

$$\begin{align} \{f,g\}= \frac{\partial f}{\partial \zeta}\frac{\partial f}{\partial \zeta^*} -\frac{\partial f}{\partial \zeta^*}\frac{\partial f}{\partial \zeta} \end{align}$$ was mit dem expliziten Ausdruck for ausgedrückt werden kann $\zeta$in Bezug auf die Winkelvariablen $\theta,\varphi$, bis hin zu Skalierungsfaktoren, wie $$\begin{align} \{f,g\}=\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi} -\frac{\partial f}{\partial \varphi}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \end{align}$$ wodurch die Rolle kohärenter Zustände beim Übergang von der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik hervorgehoben wird.