Warum entdimensionalisieren wir die Schrödinger-Gleichung bei der Lösung des harmonischen Quantenoszillators?

Wenn wir also den Gleichungen keine Informationen hinzufügen, wozu dann diese zufällig aussehenden Substitutionen?

Diese Substitutionen sind sehr hilfreich. Nicht wegen der Hinzufügung neuer Informationen (wie Sie erwähnt haben, lernen wir nichts, was wir vorher nicht wussten), sondern weil sie uns sehen lassen, was wir bereits haben. Sie lassen Sie auch das System beobachten, wie ich es gerne nenne, was im Wesentlichen bedeutet, dass Sie viel mehr erraten können, ohne auf Computerwerkzeuge zurückzugreifen.

Nachdem Sie diese Substitutionen vorgenommen haben,

1. Sie können sich leicht vorstellen, was passieren würde, wenn Sie die Proportionen zwischen den Eingabewerten ändern (dies ist ein allgemeiner Vorteil der Nichtdimensionalisierung).

2. Sie können mögliche Lösungen leicht „erraten“.

---

Hier ist eine Erklärung:

Sie sind die Ersetzungen nicht durchgegangen, daher hier ein kurzer Überblick über den Lösungsprozess. Sie können jede Phase überprüfen, um sicherzustellen, dass Sie sehen, was genau mit den Dimensionen der Gleichung passiert. Beginnen Sie mit der Schrödinger-Gleichung,

$$\left(\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2\right)\psi(x, t)=E\psi(x, t)$$ (Beachten Sie, dass die LHS der Hamilton-Operator ist,$\mathscr{H}=T+V=\left(\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}\omega^2x^2\right)$, und das ist alles eindeutig dimensional korrekt)

Sie kennen das Konzept der Nicht-Dimensionierung, also überfliege ich es: nehmen$\epsilon=\frac{E}{\hbar\omega}$, und erhalten (nachdem Sie Ihren Momentum-Operator und so erweitert haben)

$$\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\psi(x, t)-\frac{\hbar}{2m\omega}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x, t)=\epsilon\psi(x, t)$$ Im Moment gibt es keinen offensichtlichen Unterschied zwischen dieser Gleichung und dem Original mit$E$Darin: Obwohl es etwas sauberer aussieht, ist beim Betrachten nichts trivial offensichtlich. Versuchen wir also ein anderes Paar Substitutionen,$x=\alpha u$und$\alpha=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. Die meisten Bücher zeigen diese Ersetzungen nacheinander, mit Erweiterungen der Gleichung in jeder Phase, aber da die Frage besagt, dass sie bereits mathematisch selbsterklärend sind, gehe ich direkt zum Ergebnis der Anwendung dieser Ersetzungen und Vereinfachungen . Du bekommst diesen magisch sauberen Ausdruck, $$u^2\psi(x, t)-\frac{\partial^2}{\partial u^2}\psi(x, t)=2\epsilon\psi(x, t)$$ Oder, wenn ich mit der Notation etwas lockerer sein darf, $$-\psi''+u^2\psi=2\epsilon\psi$$ und $$\psi''=(u^2-2\epsilon)\psi$$

Dies ist unter bestimmten Bedingungen offensichtlich recht einfach zu lösen. Wir können raten, was passiert, wenn$u\rightarrow\infty$: der$\epsilon$-verwandte Terme werden vernachlässigbar klein, also lösen wir$\psi''=u^2\psi$. Und das ist leicht zu erraten; die Ergebnisse liegen in der Richtung von$\psi=Au^ke^{u^2/2}$. Das ist natürlich nicht etwas, was Sie erreichen könnten, wenn Sie es nicht hätten$u$auf dem Bild, und wenn Sie nicht eingeführt hatten$\epsilon$, wäre es schwierig gewesen, genau herauszufinden, welche Terme an Null angenähert wurden. Ein ähnlicher Prozess kann befolgt werden, um Lösungen für anzunähern$u\rightarrow 0$.

---

Der nächste offensichtliche Vorteil des Entfernens der Einheiten ist die Sauberkeit und Allgemeingültigkeit der Berechnungen für verschiedene Größenordnungen. Es ist eine gängige Technik, anzunehmen, dass alle anderen Einheiten in einem System solche Werte annehmen$\hbar=1$und$c=1$. Es erleichtert viele Berechnungen. In diesem Fall stellen wir die Energieeinheiten ($E$) als$\hbar\omega$(nur um zu prüfen,$\hbar$hat Aktionseinheiten,$[E\ T]$(Ich verwende eine nicht standardmäßige$[E]$für Energie) und$\omega$ist Frequenz,$[T^{-1}]$). Wir skalieren auch die Länge auf$\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. Durch das Festlegen dieser Werte ist es außerdem einfach, intuitive Vermutungen über das Ausmaß des Problems anzustellen (dies ist ein allgemeinerer Vorteil des Entfernens von Dimensionen und nicht sehr spezifisch für den harmonischen Quantenoszillator). Dies macht es einfach, dieselbe Gleichung für Systeme mit unterschiedlichen Größenordnungen zu verwenden (z. B. Situationen, in denen die Amplitude$u$ist wirklich winzig und Situationen, in denen es riesig ist), ohne das Verständnis und das "Gefühl" für das zu verlieren, was vor sich geht.

Bei Ihrem spezifischen Problem und angesichts der Allgegenwart des harmonischen Oszillators bedeutet der Wechsel zu dimensionslosen Variablen, dass Sie dieselbe grundlegende Lösung für eine große Anzahl von Problemen verwenden und die spezifische Lösung, die Sie benötigen, durch einfaches Anpassen der verschiedenen Skalen erhalten können.

Ganz allgemein gibt es dafür eine Reihe guter Gründe. Erstens bietet das Auffinden „natürlicher“ Einheiten normalerweise einen Einblick in die verschiedenen Größenordnungen eines Problems. Zweitens bereinigt die Verwendung dieser natürlichen Einheiten normalerweise die resultierenden Gleichungen. Als dritter, aber weniger wichtiger Grund ist die Verwendung eines Systems "natürlicher" Einheiten, bei denen Zahlen nicht klein oder groß sind, rechnerisch vorteilhaft.

Betrachten Sie den radialen Teil$\chi(r)=r R(r)$der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom. Es ist die Lösung der Differentialgleichung

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^{2}}{dr ^{2}}\chi (r )+ \left(-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}+ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r ^{2}}\right)\chi (r ) =E\chi(r) \tag{1}$$ wo$m$ist die Elektronenmasse,$\hbar$ist die reduzierte Planck-Konstante,$E$ist die zugehörige Energie zu$\chi(r)$, und$\ell$ist eine ganze Zahl.

Führen Sie den Bohr-Radius als Längeneinheit ein, definiert als

$$\begin{equation} a_{0}=\frac{4\pi^{2}\hbar^{2}\epsilon_0}{\pi me^{2}}=\frac{4\pi\hbar ^{2}\epsilon_{0}}{me^{2}}, \end{equation}$$ und die dimensionslose Größe$\rho = r/a_{0}$.

Schreiben Sie das Coulomb-Potential in Bezug auf die dimensionslose Variable um$\rho$, wir bekommen

$$V(r)=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}=-\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}} \frac{me^{2}}{(4\pi \epsilon _{0})\hbar ^{2}}\frac{1}{\rho } =-\frac{me^{4}}{(4\pi\epsilon _{0})^{2}\hbar ^{4}} \frac{1}{\rho}=V(\rho).$$ Durchführung der Substitution von$r$zu$\rho$, wandelt die Differentialgleichung in um $$\frac{-me^{4}}{2(4\pi \epsilon _{o})^{2}\hbar ^{2}} \frac{d^{2}}{d\rho ^{2}}\chi (\rho ) +\left[ -\frac{me^{4}}{(4\pi\epsilon _{o})^{2}\hbar ^{4}\rho} +\frac{me^{4}}{2(4\pi \epsilon_{o})^{2}\hbar ^{2}} \frac{\ell(\ell+1)}{\rho ^{2}}\right] \chi (\rho ) =E\chi(\rho ).$$ Die Bohr-Energie $$\bar E=\frac{me^{4}}{2(4\pi \epsilon _{o})^{2}\hbar ^{2}}% \approx 13.6 eV ~\sim 2.2\times 10^{-18}J$$ ist eine naheliegende Wahl für eine Energiewaage.

Eine durchgehende Division durch diesen ergibt den viel saubereren Ausdruck

$$-\frac{d^{2}}{d\rho ^{2}}\chi (\rho )+\left[-\frac{2}{\rho } +\frac{\ell(\ell+1)}{\rho ^{2}}\right] \chi (\rho )=\frac{E}{\bar E}\, \chi (\rho )$$ vollständig in Bezug auf die dimensionslosen Variablen $$\bar{V}(\rho )=\frac{V(\rho )}{\bar{E}}=-\frac{2}{\rho},\quad\nu =-\frac{E}{\bar{E}} .$$

Dies zeigt, dass wir, indem wir einfach zu dimensionslosen Koordinaten gehen, ein Gefühl für die Energien bekommen, die in der Atomphysik involviert sind: nicht MeV oder GeV, nur eV. Darüber hinaus sind Größen in der Atomphysik normalerweise die Größe des Bohr-Radius, dh$\sim 10^{-11}m$. Wir müssen nie kleine Mengen manipulieren, wie z$10^{-18}J$oder$10^{-11}m$.

Diese Form ist nicht nur sauber, sondern auch für Computerlösungen zugänglich: Computer arbeiten nur mit dimensionslosen Größen, in dem Sinne, dass ihnen die Wahl der Einheiten egal ist.

Es gibt zwei Hauptgründe:

• Es liefert einen wichtigen physikalischen Einblick in die charakteristischen Dimensionen des Systems und wie diese von den Basisparametern abhängen.
• Es entfernt notationelle Unordnung und macht die Gleichung einfacher zu handhaben.

Wie Sie anmerken, ändert die Entdimensionalisierung einer Differentialgleichung sie nicht grundlegend und macht sie nicht auf magische Weise lösbarer. Alle Änderungen sind kosmetischer Natur, aber kosmetische Änderungen sind immer noch wichtig; Wir sind Menschen mit begrenztem Affengehirn, und eine einfachere Notation erleichtert die Zeit.

---

Der wichtigste Grund ist jedoch, dass Sie aus dem Prozess wichtige physikalische Erkenntnisse gewinnen. Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für das Problem,

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x)+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi(x) = E \psi(x),$$ hat drei relevante Dimensionsparameter,$m$,$\omega$und$\hbar$, und wenn Sie dreidimensionale Parameter haben, die einen dreidimensionalen Raum von Mengen abdecken (z$[m]=[M]$,$[\omega]=[T^{-1}]$und$[\hbar]=[M\:L^2\:T^{-1}]$alle algebraisch unabhängig sind), dann haben Sie ein starres System im Sinne des Buckingham-Pi-Theorems : Zwei beliebige Kopien des Problems haben das gleiche Verhalten und sind bis zu einer Neuskalierung identisch.

(Andererseits, wenn Sie einen vierten Parameter innerhalb dieses dreidimensionalen Raums hinzufügen, wie z. B. einen quartischen Term$\frac14\alpha x^4$, dann haben Sie einen verbleibenden 'Form'-Parameter, und nicht alle Kopien des Systems haben ein isomorphes Verhalten. Aber ich schweife ab.)

Auch hier ermöglicht die Tatsache, dass man drei Parameter hat, eindeutig bestimmte Kenngrößen für alle physikalischen Größen zu bilden, insbesondere auch

• eine charakteristische Länge,$\sqrt{\hbar/m\omega}$,
• eine charakteristische Dynamik,$\sqrt{\hbar m \omega}$,
• eine charakteristische Energie,$\hbar\omega$,

und durch sie jede andere Dimension, die Sie benennen möchten. Das heißt, wenn wir die Variablensubstitutionen machen

$$\begin{align} x & = \sqrt{\hbar/m\omega} \ \xi \\ p & = \sqrt{\hbar m\omega} \ \pi \\ E & = \hbar\omega \ \epsilon, \end{align}$$ Was wir tun, ist eine einzige kanonische Kopie des Problems zu identifizieren, $$-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}\psi(\xi)+\frac{1}{2}\xi^2\psi(\xi) = \epsilon \psi(x),$$ zusammen mit der kanonischen Neuskalierung, die Ihnen sagt, was die relevanten Längen- und Energieskalen für das Problem sind.

---

Und sobald Sie die Gleichung in einer Form ohne äußere Parameter haben, ist die einzige freie Handhabe die entdimensionalisierte Energie$\epsilon$, wird viel klarer, welche Parameter wichtig sind und welche nicht (oder besser gesagt, die Parameter, die keine Rolle spielen, wurden weggewischt). Die resultierende Differentialgleichung ist mathematisch äquivalent zu dem, womit Sie begonnen haben, aber Sie haben Unordnung entfernt und das macht es einfacher, damit zu arbeiten, besonders wenn Sie dies als Teil eines größeren Systems einbeziehen.

Es gibt bereits sehr gute Antworten zu Ihrer konkreten Differentialgleichung. Ich möchte auf die Aussage eingehen

Wenn Sie jedoch nur Begriffe ersetzen und stornieren, fügen Sie keine neuen Informationen hinzu.

Es ist wahr, dass Sie keine "neuen Informationen hinzufügen", aber Sie können Informationen offenlegen, die auf den ersten Blick nicht sichtbar sind. Hier ist ein sehr einfaches Beispiel auf Highschool-Niveau. Betrachten Sie das typische Problem, einen Ball hochzuschießen und die Flugbahn zu beschreiben. Angenommen, wir schießen den Ball aus der Höhe$0$, bei einer Geschwindigkeit von$10\,$Frau. Dann wird die Höhe des Balls dargestellt, in Metern und mit$t$in Sekunden, durch

$$h(t)=-\tfrac12\,gt^2+10t.$$ Angenommen, Sie werden gebeten herauszufinden, zu welcher Zeit die Höhe des Balls maximal ist und wie hoch diese maximal ist. Wenn Sie sich mit Analysis auskennen, können Sie nach dem suchen$t$so dass$x'(t)=0$, und dann auswerten$x$dabei$t$. Aber ohne Kalkül zu kennen und ein bisschen "Ersetzen und Aufheben von Termen" zu machen, könnten wir bekommen $$h(t)=-\tfrac12\,g\,(t^2-\tfrac{20}g\,t) =-\tfrac12\,g\,(t^2-\tfrac{20}g\,t+\tfrac{400}{g^2}-\tfrac{400}{g^2}) =-\tfrac12\,g\,(t-\tfrac{20}{g})^2+\tfrac{200}g.$$ Jetzt$h$wird so ausgedrückt, dass wir sofort sehen können, dass die maximale Höhe positiv ist, da der erste Term niemals positiv ist$200/g$Meter, und das tritt genau auf$20/g$Sekunden.

Wir Physiker arbeiten mit Dimensionen. Mathematiker arbeiten jedoch mit dimensionslosen Parametern, wie z$x$und$y$. Für uns,$x$wären Meter, aber für einen Mathematiker$x\in\mathbb{R}$.

Es stellt sich also heraus, dass es eine Differentialgleichung namens "Hermitesche Differentialgleichung" gab, die vor QM bekannt war. Da es sich um ein mathematisches Problem handelte, wurde es in Bezug auf angegeben$x$und$y$, nicht "dimensionale" Mengen.

Was wir also herausfanden, war, dass nach all diesen Substitutionen der harmonische Quantenoszillator zu dieser HERMITE-Gleichung wurde. Und das war großartig, weil wir die Lösung dafür bereits kannten.

Hätten wir diese Gleichung nicht gekannt, hätten wir kaum die Lösung gefunden. Denken Sie daran, dass es für die meisten QM-Probleme keine analytischen Lösungen gibt.