Warum ist die Energie eines Teilchens sowohl in einer 2D- als auch in einer 3D-Box proportional zu 1L21L2\frac{1}{L^2}?

Die Energie eines Teilchens in einer 2D- und 3D-Box ist gegeben durch

E = N 2 ℏ 2 π 2 2 M L 2

Wo L ist die Länge der quadratischen/kubischen Box. hätte ich erwartet L 2 für 2D u L 3 für 3D. Warum ist es L 2 für beide?

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Für ein Partikel in einer Box der Größe L , L ist die einzige Längenskala, also muss die Energie gehen wie ℏ 2 M L 2 durch Dimensionsanalyse in beliebigen Dimensionen. Dasselbe auch in 1D.

Ich bin verwirrt darüber, wie Sie den Begriff "Längenskala" verwendet haben. Die Wikipedia-Seite für die Längenskala macht mir nicht klar, wie dies zu interpretieren ist. Wollen Sie damit sagen, dass Länge notwendigerweise eindimensional ist? Was bedeutet das physikalisch, was das Teilchen bedeutet L 2 gilt immer? Tut mir leid, dass ich stumpf bin.
Liegt es überhaupt daran N 2 berücksichtigt die Anzahl der Dimensionen (sowie das Energieniveau), dann ist der Rest des Begriffs im Grunde ein Skalierungsfaktor?
Was ich meine ist das L ist die einzige Länge, die uns in dem Problem zur Verfügung steht. Somit ist die einzige Energieskala, die wir haben können ℏ 2 M L 2 , also werden alle Energien in Einheiten von sein ℏ 2 M L 2 , unabhängig von der Dimension.

Der Hamiltonoperator einer Box nicht wechselwirkender Elektronen ist trennbar. Das bedeutet, dass

H = ∑ D H D

und dass die Grundzustandswellenfunktion (unter Vernachlässigung der Symmetrisierung) gegeben ist als

ψ ( R ) = ψ 1 ( R 1 ) ψ 2 ( R 2 ) … ψ D ( R D )
.

Dann ist es einfach zu zeigen, dass die Energie ist

H ψ = ( E 1 + E 2 … E D ) ψ = E ψ .

Das nicht wechselwirkende Teilchen in N Dimensionen hat also denselben Hamilton-Operator wie N nicht wechselwirkende Teilchen in 1 Dimension.

Warum ist die Energie eines Teilchens sowohl in einer 2D- als auch in einer 3D-Box proportional zu 1L21L2\frac{1}{L^2}?
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