Was ist dieser ξξ\xi-Charakter im Kontext des unendlichen Brunnens?

Dies könnte eine Frage sein, auf die es keine Antwort gibt. Ich arbeite die Energieformel für die antisymmetrischen Wellenfunktionen für den unendlichen quadratischen Brunnen aus. Ich muss den Wert für bestimmen ξ 0 was einen gebundenen Zustand ergibt. Ich habe Mühe zu verstehen, was ξ 0 Ist.

Aus Notizen und Fragen meines Lehrers wird mir das gesagt ξ = A 2 M E ℏ 2 ; Wo M ist Masse, E ist die Gesamtenergie des Teilchens, ℏ ist Planken konstant, und A ist die Länge oder Breite des quadratischen Brunnens.

Frage: Was bedeutet ξ vertreten?

Kontext zu ξ : Es scheint ein willkürlicher Wert zu sein. Obwohl ich aus dem Kontext des quadratischen Brunnenproblems etwas Ähnliches finden kann. Nehmen Sie die zeitunabhängige Scrodinger-Gleichung und stellen Sie sie ein U ( X ) = 0 , weil es keine potentielle Energie hat, während es sich innerhalb der Wände des Brunnens befindet.

− ℏ 2 2 M D 2 ψ ( X ) D X 2 + U ( X ) ψ ( X ) = E D ψ ( X ) D T [ U ( X ) = 0 ] − ℏ 2 2 M D 2 ψ ( X ) D X 2 = E D ψ ( X ) D T
Teilen Sie dann beide Seiten durch − ℏ 2 2 M .
D 2 ψ ( X ) 2 M = − 2 M E ℏ 2 D ψ ( X ) D T
Nehmen Sie der Einfachheit halber die Definition vor k 2 ≡ 2 M E ℏ 2 . Dann A k = ξ .

Die anti-summetrische Lösung sieht innerhalb des Brunnens wie folgt aus

ψ N ( X ) = 2 L S ich N ( N π X A ) ; 0 < X < A
N ist eine ganze Zahl. Die quantisierten Energiezustände, die sich bilden, weil at ψ ( 0 ) = ψ ( A ) = 0 Und ψ muss normalisiert werden produziert
E N = N 2 π 2 ℏ 2 2 M A 2

Antworten (2)

Die De-Broglie-Wellenlänge eines freien Quantenteilchens ist

λ = H P = H 2 M E .
Daher haben wir bis auf einen konstanten Faktor gerade
ξ = A λ .
Das ist, ξ ist ein dimensionsloses Maß dafür, wie breit die Vertiefung im Vergleich zur De-Broglie-Wellenlänge des Partikels ist.

Es ist nützlich für die Arbeit mit ξ anstatt A weil es uns erlaubt, eine Reihe von Konstanten "auszuklammern", die wir nicht mit uns herumtragen wollen, und die endgültige Antwort wird so etwas Nettes sein wie " ξ = 1 "anstelle von etwas chaotisch wie" A = 4,7239 × 10 − 14  Meter ". Formulierung der Antwort ausschließlich in Bezug auf ξ wird Ihnen auch automatisch sagen, wie der Wert von A sollten sich wie andere Parameter ändern, wie M Und E , auch ändern.

Also wenn A , M ist dann festgelegt/gegeben ξ wird zu einem dimensionslosen Maß für die Energie eines Teilchens im Vergleich zur Größe des Brunnens?
@Tsangares Art von. Es ist ein bisschen umständlich, das zu sagen, weil es proportional zu ist E , nicht E , aber ja. Es misst, wie groß die Energie ist, indem es die resultierende de Broglie-Wellenlänge mit der Längenskala des Brunnens vergleicht.

Ihre gegebenen Sinus-Eigenfunktionen sind im wohl nur für antisymmetrisch N ist sogar . Der Parameter ξ = A 2 M E ℏ 2 = k A ist gleich dem Produkt des Wellenvektors k und der Breite des Brunnens a, was das dimensionslose Argument der Sinuswellenfunktion ist. Die Randbedingungen des Brunnens schränken die Werte von ein ξ Zu ξ N = k A = N π X mit den symmetrischen Lösungen für N = 1 , 3 , 5 , . . und die antisymmetrischen Lösungen für N = 2 , 4 , 6 , . . . . Alle diese Sinus-Eigenfunktionen sind gebundene Zustände.

Was ist dieser ξξ\xi-Charakter im Kontext des unendlichen Brunnens?
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