Entartung der Energieniveaus eines Teilchens in einem Kugelstufenpotential in 3D?

Question

Entartung der Energieniveaus eines Teilchens in einem Kugelstufenpotential in 3D?

Benutzer120474

Ich habe ein Massenteilchen $m$ und drehen $1/2$ , in einem Kugelstufenpotential,

v (R) = {\begin{cases} 0 & R < A, \\ v_{0} > 0 & R > A . \end{cases}

$V(r) = \begin{cases} 0 & r<a, \\ V_0>0 & r>a. \end{cases}$

Nun bitten sie mich, ohne Lösung des Problems, die Entartung der Energieniveaus zu finden $0<E<V_0$ . Ich bin mir nicht sicher, wie ich das lösen soll, ich habe versucht, kartesische Koordinaten zu verwenden, da das gut funktioniert hat $V(r) \propto r^2$ , aber ich weiß nicht, wie ich dieses besondere Potenzial umwandeln soll.

Kyle Arean-Raines

Haben Sie versucht, die radialen und winkligen Teile in der Schrödinger-Gleichung zu trennen? Die Differentialgleichung für den radialen Teil liefert Lösungen, die sphärische Besselfunktionen (für Nullpotential) sind

V = 0

$V = 0$ und sphärische Hankel-Funktionen ( en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function ) für

V \neq 0

$V \neq 0$ , jeweils indiziert durch die Drehimpuls-Eigenwerte

l

$l$ . Die Lösungen der Winkelgleichung sind sphärische Harmonische, indiziert durch die

l

$l$ und die magnetische Quantenzahl

m_{l}

$m_l$ . Die Werte, die diese Quantenzahlen annehmen können, sollten Ihnen helfen, die Entartung von Energien zu finden.

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Entartung der Energieniveaus eines Teilchens in einem Kugelstufenpotential in 3D?

Haben Sie versucht, die radialen und winkligen Teile in der Schrödinger-Gleichung zu trennen? Die Differentialgleichung für den radialen Teil liefert Lösungen, die sphärische Besselfunktionen (für Nullpotential) sind $V = 0$ und sphärische Hankel-Funktionen ( en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function ) für $V \neq 0$ , jeweils indiziert durch die Drehimpuls-Eigenwerte $l$ . Die Lösungen der Winkelgleichung sind sphärische Harmonische, indiziert durch die $l$ und die magnetische Quantenzahl $m_l$ . Die Werte, die diese Quantenzahlen annehmen können, sollten Ihnen helfen, die Entartung von Energien zu finden.

ZeroTheHero · Answer 1

Der radiale Teil der Schrödinger-Gleichung (nach Trennung des Winkelteils) hat die Form

- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2}}{D R^{2}} χ (R) + \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{ℓ (ℓ + 1)}{R^{2}} χ (R) = (E - v_{Ö}) χ (R), χ (R) = R R (R)

$-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}\chi (r)+\frac{\hbar ^{2}}{2m}% \frac{\ell\left(\ell+1\right) }{r^{2}}\chi (r)=\left( E-V_{o}\right) \chi (r)\, ,\qquad \chi(r)=rR(r)$ Wo

Ψ (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ)

$\Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)$ . Vorausgesetzt

E - V_{o} > 0

$E-V_o>0$ , kann man (nach einigen kniffligen Manipulationen) zeigen, dass für festen Drehimpuls

ℓ

$\ell$ ,

R_{ℓ} (ρ) = ρ^{ℓ} ξ_{ℓ} (ρ)

$R_\ell(\rho)=\rho^\ell\,\xi_\ell(\rho)$ Wo

ρ = k r

$\rho=kr$ Und

ξ_{ℓ} (ρ)

$\xi_\ell(\rho)$ ist eine sphärische Bessel-Funktion. Dies wird sich um die klassische Region kümmern. Im klassisch verbotenen Bereich muss man Hankel-Funktionen erster und zweiter Art verwenden, die die oszillierenden sphärischen Bessel-Funktionen in (fallende) Exponentiale umwandeln.

Es ist dann ein Matching-Problem ähnlich dem der endlichen Vertiefung in 1d, außer dass die Lösungen eher sphärische Bessels und Hankels als Sinus und Exponentiale sind. Das Auffinden der möglichen Energien beinhaltet daher das Lösen einer nicht-trivialen transzendentalen Gleichung mit Bessels, Hankels und ihren Ableitungen.

Ob der Brunnen endliche Tiefe oder unendliche Tiefe hat, hängt von den möglichen Energien ab $\ell$ , ganz anders $\ell$ 's produzieren anders $E_{n,\ell}$ . Hier, $n$ nummeriert die Lösungen und kann auch mit der Anzahl der Knoten der Wellenfunktion verbunden werden (für fixed $\ell$ ). Somit gibt es keine „zufälligen“ Entartungen. Weitere Details finden Sie auf dieser Webseite.

Der radiale Teil der Schrödinger-Gleichung hängt jedoch nicht von der azimutalen Quantenzahl ab $m$ , so alles $m$ zulässige Werte für einen gegebenen Wert $\ell$ sind entartet. Wenn Sie Spin einwerfen, verdoppeln Sie diese jeweils um einen bestimmten Wert $E_{n,\ell}$ Ist $2(2\ell+1)$ Zeiten degenerieren.

Beachten Sie, dass der endliche sphärische Brunnen aufgrund der nicht trivialen Natur der transzendentalen Gleichung selten verwendet wird. Der unendliche sphärische Brunnen (es handelt sich nur um sphärische Bessels und ihre Nullstellen, die tabelliert sind) wird gelegentlich zum Verständnis von niederenergetischen Kernniveaus verwendet, da das Kernpotential ungefähr flach ist und dann schnell nach oben schießt.

Entartung der Energieniveaus eines Teilchens in einem Kugelstufenpotential in 3D?

Benutzer120474

Kyle Arean-Raines

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ZeroTheHero

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