Hamiltonian mit zwei Zuständen im Feynman-Pfadintegral

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Hamiltonian mit zwei Zuständen im Feynman-Pfadintegral

Physik
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Wegintegral
Quantenmechanik

physik_fan_123

In den typischen Konstruktionen des Pfadintegrals, die ich gesehen habe, gehen sie immer von der Annahme aus, dass der Hamilton-Operator, mit dem man beginnt, eine Funktion von ist $x$ Und $p$ , alias für $n$ Freiheitsgrade:

H = \sum_{k}^{N} \frac{P_{k}^{2}}{2 M_{k}} + v (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}),

$H=\sum_k^n \frac{p_k^2}{2m_k} + V(x_1,x_2,\cdots,x_n) \, ,$

was es erlaubt, Trotter-Splitting zu verwenden, um den Propagator zu vereinfachen. Bei der Herleitung des Wegintegrals liegt dieser Schritt bei

⟨ X_{F} | e^{- ich H T / ℏ} | X_{0} ⟩ = \int D X_{1} \dots \int D X_{N - 1} \prod_{k = 1}^{N} ⟨ X_{k} | e^{- ich H Δ T_{k} / ℏ} | X_{k - 1} ⟩

$\langle x_f |e^{-iHt/\hbar}|x_0\rangle = \int dx_1\cdots \int dx_{N-1}\prod_{k=1}^{N}\langle x_{k}|e^{-iH\Delta t_k/\hbar}|x_{k-1}\rangle$

wo man das in die grenze schreiben kann $N \rightarrow \infty$

e^{- ich H Δ T_{k} / ℏ} \approx e^{- ich v Δ T_{k} / 2 ℏ} e^{- ich T Δ T_{k} / ℏ} e^{- ich v Δ T_{k} / 2 ℏ}

$e^{-iH\Delta t_k/\hbar} \approx e^{-iV\Delta t_k/2\hbar}e^{-iT\Delta t_k/\hbar}e^{-iV\Delta t_k/2\hbar}$

wo die potenziellen Terme jetzt direkt an Positionszustände angehängt werden, was zu netten Dingen in der Ableitung führt.

Wie ändert sich die Ableitung und damit die Wegintegralformulierung, wenn man nicht mehr davon ausgeht, mit einem orts- und impulsabhängigen Hamiltonoperator zu beginnen?

Nehmen wir an, es gibt einen Hamiltonoperator mit zwei Zuständen $H = A\sigma_x + B\sigma_z$ (Wo $\sigma$ sind die Pauli-Spinmatrizen), und jetzt macht das Trabersplitting keinen Sinn mehr. Wie geht man von hier aus mit der Berechnung des Propagators vor?

Adam

Sie suchen nach (spin-)kohärenten Zustandswegintegralen.

Daniel Sank

Beachten Sie, dass Sie bei der Ableitung der Pfadintegration, an die Sie gewöhnt sind, nur einfügen

N

$N$ Auflösungen der Identität und dann nehmen

N \to \infty

$N \rightarrow \infty$ . Sie können genau das Gleiche mit Spins tun ... es ist nur eine andere Auflösung der Identität.

physik_fan_123

@DanielSank Um also leicht mit den Pauli-Spin-Matrizen im Hamilton-Operator kompatibel zu sein, sollte unsere Strategie darin bestehen, vollständige Sätze von Zuständen einzufügen, die Eigenzustände des Hamilton-Operators sind? Auf diese Weise, wenn Sie die Zustände einfügen und auf etwas wie stoßen

⟨ Ω | e^{- i H t / ℏ} | Ω^{'} ⟩

$\langle \Omega |e^{-iHt/\hbar}| \Omega' \rangle$ , Wo

| Ω ⟩

$|\Omega \rangle$ Ist ein Eigenzustand, den der Zeitentwicklungsoperator leicht aus BH und Ket herausnehmen kann?

Daniel Sank

Mehr oder weniger, ja. Siehe Adams Kommentar.

Antworten (1)

Hamiltonian mit zwei Zuständen im Feynman-Pfadintegral

Beachten Sie, dass Sie bei der Ableitung der Pfadintegration, an die Sie gewöhnt sind, nur einfügen $N$ Auflösungen der Identität und dann nehmen $N \rightarrow \infty$ . Sie können genau das Gleiche mit Spins tun ... es ist nur eine andere Auflösung der Identität.
@DanielSank Um also leicht mit den Pauli-Spin-Matrizen im Hamilton-Operator kompatibel zu sein, sollte unsere Strategie darin bestehen, vollständige Sätze von Zuständen einzufügen, die Eigenzustände des Hamilton-Operators sind? Auf diese Weise, wenn Sie die Zustände einfügen und auf etwas wie stoßen $\langle \Omega |e^{-iHt/\hbar}| \Omega' \rangle$ , Wo $|\Omega \rangle$ Ist ein Eigenzustand, den der Zeitentwicklungsoperator leicht aus BH und Ket herausnehmen kann?

Roger Wadim · Answer 1

Shankars Übersicht über die Renormierungsgruppe verwendet das Zwei-Ebenen-System als Beispiel für die Einführung des Grassman-Zahlenformalismus, des fermionischen Pfadintegrals usw. ( auch auf arXive verfügbar ). Das Zwei-Ebenen-System kann natürlich als ein einzelner fermionischer Zustand angesehen werden. Wie @Adam in den Kommentaren feststellte, benötigen Sie jedoch möglicherweise ein Spin-Pfad-Integral. In diesem Fall sind gute Referenzen die Bücher von Nagaosa oder Auerbach .

Anmerkung
Die oben zitierten Quellen behandeln alle Vielteilchensysteme, arbeiten also hauptsächlich im zweiten Quantisierungsformalismus. Das OP scheint ein Pfadintegral für einzelne Teilchen nach dem Vorbild des Feynmann-Hibbs-Buches vorzuschlagen - diese werden selten verwendet, und die Quellen sind in der Tat knapp.

Hier könnte man statt Impulszuständen Spin-Eigenzustände verwenden $|\sigma\rangle$ und berechnen

⟨ σ_{F} | e^{- ich H T / ℏ} | σ_{ich} ⟩ = \sum_{σ_{1}} \sum_{σ_{2}} . . . \sum_{σ_{N - 1}} \prod_{k = 1}^{N} ⟨ σ_{k} | e^{- ich H Δ T_{k} / ℏ} | σ_{k - 1} ⟩

$\langle\sigma_f|e^{-iHt/\hbar}|\sigma_i\rangle = \sum_{\sigma_1}\sum_{\sigma_2}...\sum_{\sigma_{N-1}}\prod_{k=1}^N \langle\sigma_k|e^{-iH\Delta t_k/\hbar}|\sigma_{k-1}\rangle$ usw. Dabei werden jedoch einige wichtige Phasenterme fehlen, weshalb ich empfehle, die oben zitierten Bücher zu konsultieren (oder einfach die vollständige Herleitung zu googeln).

Danke für Ihre Antwort! Ich habe das Gefühl, dass es ziemlich schwierig war, eine Ressource dazu zu finden (selbst nach mehreren Google-Suchen). Ist es in Vielteilchensystemen einfach einfacher?
Es ist nützlicher in Vielteilchensystemen - in der grundlegenden QM braucht man nicht wirklich Pfadintegrale.
Hier ist, was ich bekomme, wenn ich einfach "spin path integral" googel: journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.176.1558 , arxiv.org/abs/1211.4509 , nptel.ac.in/content/storage2/courses/ 115101009/downloads/… , und es gibt noch viel mehr.
In dieser Referenz ( researchgate.net/profile/Mekki-Aouachria/publication/… ) scheinen die Autoren Ihre obige Spin-Eigenzustandsstrategie nur mit diesen kohärenten Zuständen zu übernehmen, $|\Omega \rangle = |\theta, \psi \rangle = e^{-i\psi S_z}e^{-i\theta S_y} |\uparrow \rangle$ ... Macht das Sinn?
Ich verstehe formal, dass sie nur den Spin-Up-Zustand drehen, aber ich nehme an, ich bin verwirrt darüber, warum sie das tun würden? Kann dies einen Spin-Down-Zustand erzeugen, so dass $\langle\Omega|e^{-iHt/\hbar}|\Omega '\rangle$ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, den Zustand entweder im Spin-Up- oder im Down-Zustand nach der Zeit t zu finden?
Das habe ich eigentlich gemeint, als ich über Vielkörpertexte gesprochen habe - sie tun dies eher in Bezug auf kohärente Zustände, also muss man zuerst die kohärenten Zustände lernen, die zuerst für Bosonen / Fermionen leichter zu lernen sind als für Spins, was die Kenntnis der zweiten Quantisierung usw. erfordert. Das heißt, dass Pfadintegrale auf einem ziemlich fortgeschrittenen Niveau nützlich werden.

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Adam

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