Wegintegral in gerader Anzahl räumlicher Dimensionen: Existiert es?

Die Wegintegral-Formulierung der Quantenmechanik ist mit dem Huygens-Prinzip verwandt, wie von Feynman in seinem bahnbrechenden Artikel [1] festgestellt und seitdem vielfach kommentiert. Das Huygens-Prinzip gilt jedoch nicht in geraden Dimensionen, siehe zum Beispiel diese Webseite oder diese Physics SE . Können wir daraus schließen, dass Pfadintegrale nur in ungeraden Dimensionen funktionieren?

[1] Feynman, RP (Apr. 1948). "Raum-Zeit-Ansatz zur nichtrelativistischen Quantenmechanik". In: Rev. Mod. Phys. 20 (2), S. 367–387

Neben dem Huygen-Prinzip gibt es andere Rechtfertigungen für die pfadintegrale Formulierung von QM, wie z. B. einen Ansatz der geringsten Aktion. Die Tatsache, dass das Huygen-Prinzip nicht gilt, bedeutet nicht, dass eine Pfad-Integral-Formulierung nicht in 2-D durchgeführt werden kann, aber es wirkt sich darauf aus, wie diese Pfad-Integral-Formulierung aussieht.
AFAIK, die Pfadintegral-Formulierung ist die Lagrange-Formulierung von QM (anstelle der Schrödinger- Hamilton-Formulierung ) und hat nichts mit dem Huygens-Prinzip zu tun (auch wenn dies eine anfängliche oder historische Begründung war). Die Wegformulierung soll für beliebige Dimensionen gelten.

Antworten (1)

Ich fürchte, Sie interpretieren Feynman falsch. Er sagt Ihnen ausdrücklich, dass er die Ausbreitung der Schrödinger-Gleichung erster Ordnung in der Zeit diskutiert und nicht die d'Alembertsche Ordnung 2. Ordnung, deren Green-Funktionen die Besonderheiten aufweisen, vor denen er selbst warnt.

Er folgt Diracs epochaler (1933) Physikalischer Zeitschrift der Sowjetunion 3 , 64–72 , um tatsächlich zu demonstrieren, dass, wenn die Amplitude der Welle auf irgendeiner „Oberfläche“ gegeben ist, ihr Wert kurze Zeit danach die Summe aller Beiträge von allen ist Punkte der Oberfläche zur ursprünglichen Zeit, wobei jeder Beitrag in der Phase um einen Betrag verzögert ist, der proportional zur Aktion S dieses Segments ist, klassisch (extrem). Dies ist die Essenz von multiplizierten, verketteten und summierten QM-Amplituden,

⟨ Q T | Q T ⟩ = ∫ ⟨ Q T | Q M ⟩ D Q M ⟨ Q M | Q M − 1 ⟩ D Q M − 1 . . . ⟨ Q 2 | Q 1 ⟩ D Q 1 ⟨ Q 1 | Q T ⟩ ,
Gleichung (11) des Obigen; und des Prinzips von Huygens; heute ist es ungefähr das Zweite, was wir alle über QM lernen, vgl. Diracs QM-Buch, §32. Dies liegt in der Tat an der Normalisierung, der eigentlichen Definition des Pfadintegrals, und es funktioniert in allen Dimensionen . Das nennt er das starke Huygens-Prinzip – definitiv nicht das, was Ihre Links diktieren.

Er „entschuldigt“ sich dann für die Wiederholung von Diracs „sehr schöner“ destruktiver Interferenz der nichtextremen Pfade und der Dominanz der klassischen Grenze, der „Grund“ der klassischen Mechanik ist extremal.

Verstehst du nun, warum es einfach ist, den auf diese Weise gefundenen 1-d- freien Propagator auf eine beliebige Anzahl von geraden und ungeraden Dimensionen zu multiplexen?

  • Tatsächlich leitet Gutzwiller 1988 das Huygens-Prinzip aus dem Pfadintegral ab, einschließlich der von Ihnen erwähnten Dimensionsschwächung.
Wegintegral in gerader Anzahl räumlicher Dimensionen: Existiert es?
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