Normalisieren von Propagatoren (Pfadintegrale)

I) OP hat ideologisch gesehen recht. Ideologisch ist die erste Gl.

$$\tag{1} \left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right| ~\stackrel{?}{=}~1 \qquad(\leftarrow\text{Turns out to be ultimately wrong!})$$

ist die Aussage, dass ein Teilchen, das zunächst bei einem Raumzeitereignis lokalisiert wird$(x_i,t_i)$muss mit Wahrscheinlichkeit 100% innerhalb liegen$x$-Platz$\mathbb{R}$zu einer letzten Zeit$t_f$, da unser QM-Modell keine Erzeugung oder Vernichtung von Partikeln zulässt.

Allerdings ist eine solche Vorstellung von absoluten Wahrscheinlichkeiten des Feynman-Kerns$K(x_f,t_f;x_i,t_i)$kann nicht aufrechterhalten werden, wenn Ideologie in mathematische Formeln umgesetzt werden muss. ZB für den harmonischen Oszillator hat man

$$\tag{A} \left| \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ K(x_f,t_f;x_i,t_i)\right| ~=~\frac{1}{\sqrt{\cos\omega \Delta t}}, \qquad \Delta t ~:=~t_f-t_i,$$

die nur Einheit für wird$\omega \Delta t \to 0$. Das Problem lässt sich letztlich darauf zurückführen, dass es auf der reellen Achse keine normierbare gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt$\mathbb{R}$, dh die$x$-Positionsraum. Im Allgemeinen ist die erste Gl. (1) gilt nur für kurze Zeiten$\Delta t\ll \tau$, wo$\tau$ist eine charakteristische Zeitskala des Systems.

II) Lassen Sie uns überprüfen, wie die Normalisierung im Feynman-Pfadintegral von Grundprinzipien aus erscheint. Das Hauptwerkzeug zur Bestimmung des Feynman - Propagators /kernel/amplitude$K(x_b,t_b;x_a,t_a)$ist die (Halb-)Gruppeneigenschaft

$$\tag{B} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_m ~ K(x_f,t_f;x_m,t_m) K(x_m,t_m;x_i,t_i).$$

III) Äquivalent, wenn wir uns identifizieren

$$\tag{C} K(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~\langle x_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle$$

mit einer Überlappung von Momentan$^1$Positionseigenzustände im Heisenberg-Bild, dann ist Gl. (B) folgt aus der (ersten der) Vollständigkeitsrelationen

$$\tag{D} \int \!\mathrm{d}x ~|x,t \rangle \langle x,t |~=~{\bf 1}, \qquad \text{and} \qquad \int \!\mathrm{d}p~ |p,t \rangle \langle p,t |~=~{\bf 1}.$$

Diese momentanen Positions- und Impuls-Eigenzustände haben eine Überlappung$^2$

$$\tag{E} \langle p,t \mid x,t \rangle~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{px}{i\hbar}\right].$$

IV) OPs erste Gl. (1) ist äquivalent zu der Aussage, dass

$$\tag{F} \left| \langle p_f=0,t_f \mid x_i,t_i \rangle \right| ~\stackrel{?}{=}~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}},\qquad(\leftarrow\text{ Ultimately wrong!})$$

aufgrund der Identifikation (C) und

$$\tag{G} \langle p_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle ~\stackrel{(D)+(E)}{=}~\int_{\mathbb{R}}\!\frac{\mathrm{d}x_f}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{p_fx_f}{i\hbar}\right] \langle x_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle.$$

Gl. (F) wird zB für den harmonischen Oszillator verletzt, wo man hat

$$\tag{H} \left| \langle p_f,t_f \mid x_i,t_i \rangle \right| ~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar\cos\omega \Delta t}}.$$

V) Für ausreichend kurze Zeiten$\Delta t\ll \tau$, leitet man aus der Hamiltonschen Formulierung ab (ohne willkürliche Normierungs-/Fudge-Faktoren einzuführen!), dass

$$\begin{align} \langle x_f,t_f \mid x_i,t_i\rangle ~\stackrel{(D)}{=}~&\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}p~ \langle x_f,t_f \mid p,\bar{t} \rangle \langle p,\bar{t} \mid x_i,t_i\rangle \cr ~=~&\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}p~\langle x_f,\bar{t} \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid p,\bar{t} \rangle \langle p,\bar{t} \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid x_i,\bar{t}\rangle\cr ~\approx~&\int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}p~ \langle x_f,\bar{t} \mid p,\bar{t} \rangle \langle p,\bar{t} \mid x_i,\bar{t}\rangle \exp\left[-\frac{i\Delta t}{\hbar} H(\bar{x},p) \right]\cr ~\stackrel{(E)}{=}~& \int_{\mathbb{R}} \!\frac{\mathrm{d}p}{2\pi\hbar} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(p\Delta x -\left(\frac{p^2}{2m} + V(\bar{x})\right)\Delta t\right) \right]\cr ~=~& \sqrt{\frac{A}{\pi}} \exp\left[-A(\Delta x)^2-\frac{i}{\hbar}V(\bar{x})\Delta t\right], \qquad A~:=~\frac{m}{2 i\hbar} \frac{1}{\Delta t},\cr ~=~&\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{i}{\hbar}\left(\frac{m}{2}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}-V(\bar{x})\Delta t\right)\right],\end{align}\tag{I}$$

wo

$$\tag{J} \Delta t~ :=~t_f-t_i, \quad \bar{t}~ :=~ \frac{t_f+t_i}{2}, \quad \Delta x~ :=~x_f-x_i, \quad \bar{x}~ :=~ \frac{x_f+x_i}{2} .$$

Das oszillierende Gaußsche Integral (I) über dem Impuls$p$wurde durch die Einführung der entsprechenden durchgeführt$\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$Verschreibung. Gl. (I) impliziert das

$$\tag{K} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0^{+},$$

was wiederum die erste Gl. von OP impliziert. (1) in der kurzen Frist$\Delta t \to 0^{+}$. Allgemeiner, Gl. (I) impliziert die erste Gleichung von OP. (1) für$\Delta t\ll \tau$.

VI) Beachten Sie, dass die Kurzzeitwahrscheinlichkeit

$$\tag{L} P(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~|K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~\stackrel{(I)}{\approx}~\frac{m}{2\pi \hbar} \frac{1}{\Delta t} , \qquad \Delta t\ll \tau,$$

ist unabhängig von Anfangs- und Endpositionen,$x_i$und$x_f$, beziehungsweise. Für feste Ausgangsposition$x_i$, kann die Formel (L) als einheitliche und nicht normalisierbare Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Endposition interpretiert werden$x_f\in\mathbb{R}$. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass der momentane Eigenzustand$|x_i,t_i \rangle$ist von vornherein nicht normalisierbar und macht letztendlich die Vorstellung absoluter Wahrscheinlichkeiten zum Scheitern.

VII) Für endliche Zeiten$\Delta t$nicht klein, der Wechselwirkungsterm$V$wichtig wird. Im allgemeinen Fall muss die funktionale Determinante typischerweise durch die Einführung eines Grenzwerts und von Gegenbegriffen reguliert werden. Aber die Regularisierung ist nicht die (einzige) Quelle der Verletzung der ersten Gleichung von OP. (1) oder äquivalent Gl. (F). Vielmehr ist es ein generisches Merkmal, dass die$px$Matrixelemente eines unitären Evolutionsoperators

$$\tag{M} \frac{\langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{\hbar}\hat{H}\right] \mid x,t\rangle}{\langle p,t \mid x,t\rangle}$$

ist nicht nur ein Phasenfaktor von der Kurzzeitnäherung entfernt$\Delta t\ll \tau$.

VIII) Beispiel: Betrachten Sie den Hermiteschen Hamiltonoperator

$$\tag{N} \hat{H}~:= \frac{\omega}{2}(\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}) ~=~ \omega(\hat{p}\hat{x}+\frac{i\hbar}{2}).$$

Dann

$$\begin{align}\frac{\langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\Delta t}{\hbar}\hat{H}\right] \mid x,t\rangle}{\langle p,t \mid x,t\rangle} ~=~&1 - \omega\Delta t\left(\frac{1}{2}-i\frac{px}{\hbar} \right)\cr &+\frac{(\omega\Delta t)^2}{2}\left(\frac{1}{4}-2i\frac{px}{\hbar} - \left(\frac{px}{\hbar} \right)^2\right) +{\cal O}\left((\omega\Delta t)^3\right),\end{align}\tag{O}$$

was kein Phasenfaktor ist, wenn$\omega\Delta t\neq 0$. Um dies klarer zu sehen, nehmen Sie der Einfachheit halber$px=0$.

Verweise:

1. RP Feynman und AR Hibbs, Quantenmechanik und Pfadintegrale, 1965.

2. JJ Sakurai, Moderne Quantenmechanik, 1994, Abschnitt 2.5.

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$^1$Momentane Eigenzustände werden in Lehrbüchern der Quantenmechanik oft eingeführt, um im einfachsten Fall den Pfad-Integral-Formalismus aus dem Operator-Formalismus abzuleiten, siehe z. 2. Beachten Sie, dass die momentanen Eigenzustände$\mid x,t \rangle$und$\mid p,t \rangle$sind zeitunabhängige Zustände (wie sie im Heisenberg-Bild sein sollten).

$^2$Dabei gehen wir davon aus, dass mögliche zusätzliche Phasenfaktoren in der$px$Überlappung (E) wurden durch entsprechende Umdefinitionen entfernt, vgl. diese Phys.SE-Antwort.