Diese Frage hat viele Teile, aber ich werde versuchen, sie alle anzusprechen. Eine Frage, die Sie stellen, ist, warum der Kernel Abmessungen von hat$\text{length}^{-d}$. Eine andere Frage, die Sie gestellt haben, ist, wie der Kernel als Wahrscheinlichkeitsamplitude interpretiert werden kann. Das dritte, wonach Sie gefragt haben, ist eine physikalische Interpretation des Vorfaktors im Kernel. Ich werde mit einer Überprüfung beginnen, woher der Kernel kommt

Überprüfung des Kernels

Als Spielzeugbeispiel betrachten wir ein Stück Metall, das ein Temperaturprofil hat$\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}T_0(\bx)$als Funktion der Position$\bx$zum Zeitpunkt Null. Die Temperatur zu späteren Zeiten$t$wird durch die Gleichung beschrieben

Angesichts dieser Gleichung ist die Temperatur an einem Punkt$\newcommand{\by}{\mathbf{y}}\by$damals$t$wird von gegeben

Wir haben den Kernel definiert$K(\by,\bx;t)$die Funktion sein$\frac{1}{(4 \pi k t)^{d/2}} \exp \left(\frac{|\bx -\by|^2}{4kt}\right)$. Beachten Sie das seit$k$hat Abmessungen von$\text{length}^2/\text{time}$, die Funktion$K$hat Abmessungen von$\text{length}^{-d}$. Es ist gut, dass der Kernel diese Dimensionen hat, weil man sich die Gleichung ansieht$T(\by,t)=\int K(\by,\bx;t)T(\bx)d\bx,$wenn die$T$auf der rechten Seite soll die gleichen Einheiten haben wie die$T$von der linken Seite, die Abmessungen von$K$heraus, um die zu stornieren$d$Potenzen der Länge, die sich aus dem Integral ergeben. Das ist,$K$muss Einheiten von haben$\text{length}^{-d}$. Im Allgemeinen unabhängig von den Abmessungen$T$sind, wenn der Kernel$K$über den Raum integriert wird, dann muss es Abmessungen von haben$\text{length}^{-d}$. Jetzt sollte klar sein, warum der Kernel in Ihrem Fall Abmessungen von hat$\text{length}^{-d}$.

Warum der Kernel Abmessungen von hat$\text{length}^{-d}$

Wenn$\psi_0(\bx)$eine Wahrscheinlichkeitsamplitude bei ist$t=0$, mit Einheiten von$\text{length}^{-d/2}$, Und$\psi_t(\by)$ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zur Zeit$t$, auch mit Einheiten von$\text{length}^{-d/2}$, und wenn die beiden verwandt sind durch$\psi_t(\by)=\int K(\by,\bx;t)\psi_0(\bx)d\bx,$Dann$K$muss Einheiten von haben$\text{length}^{-d}$damit die Maße stimmen.

Interpretation des Kernels selbst als Lösung

Als nächstes werde ich darauf eingehen, wie der Kernel selbst als Lösung angesehen werden kann. Dies erscheint an dieser Stelle kontraintuitiv, da Wellenfunktionen Dimensionen von haben müssen$\text{length}^{-d/2}$, aber wir haben gesehen, dass der Kernel Abmessungen von hat$\text{length}^{-d}$. Kommen wir zurück zum Beispiel der Wärmegleichung. Betrachten wir ein anfängliches Temperaturprofil$T_0(\bx)$das ist nur in einem kleinen Volumenbereich ungleich Null$V$. Wenn die Lautstärke$V$kleiner und kleiner gemacht wird, dann wird die Temperatur zu späteren Zeiten überall Null sein, weil der Einfluss des kleineren Bereichs immer noch auf Null geht. Es sei denn, die Temperatur innerhalb dieser Region wird immer höher, je kleiner die Region wird. Die Grenzfunktion, eine Funktion, die nur in einem unendlich kleinen Bereich ungleich Null ist, aber in diesem kleinen Bereich einen unendlichen Wert hat, wird als Deltafunktion bezeichnet. Wenn wir unsere Anfangstemperatur wählen$T_0(\bx)$eine dieser Deltafunktionen zu sein, wobei der unendlich kleine Bereich bei zentriert ist$\mathbf{0}$, dann die Temperatur$T(\by,t)$zu einer Zeit$t$später wird durch gegeben$\int K(\by,\bx;t)\delta(\bx)d\bx$, was gleich ist$K(\by,\mathbf{0};t)$.

Es gibt ein Problem mit dem, was ich oben gesagt habe. Wir haben eine Delta-Funktion als unsere verwendet$T_0$, aber eine Delta-Funktion hat Dimensionen des inversen Volumens, während unser anfängliches Temperaturprofil Dimensionen der Temperatur haben sollte. Um ein echtes Anfangstemperaturprofil zu erhalten, sollten wir die Delta-Funktion mit einer Konstanten mit geeigneten Einheiten (Volumen mal Temperatur) multiplizieren. Die Lösung für die Temperatur zu einem späteren Zeitpunkt wäre dann eben nicht$K$, Aber$K$mal diese gleiche Konstante. Die Multiplikation mit der Dimensionskonstante ändert die Einheiten, ändert aber nicht das räumliche Profil der Lösung, also während$K$nicht die richtigen Einheiten hat, um die Lösung zu sein, hat es das gleiche räumliche Profil der Lösung für ein stark konzentriertes anfängliches Temperaturprofil.

Mal sehen, wie das mit der Quantenmechanik funktioniert. Eine Deltafunktion repräsentiert dabei die Wellenfunktion eines ortsfesten Teilchens. Eine Delta-Funktion hat jedoch Einheiten des inversen Volumens, während eine Wellenfunktion Dimensionen der Quadratwurzel des inversen Volumens haben sollte. Analog zum Temperaturbeispiel sollte die Delta-Funktion mit einer Konstanten mit Abmessungen der Quadratwurzel des Volumens multipliziert werden, um die entsprechenden Abmessungen für eine Wellenfunktion zu erhalten. Dementsprechend sollte der Kernel mit einer Konstanten von Einheiten der Quadratwurzel des Volumens multipliziert werden. Da der Kernel Einheiten des inversen Volumens hat, ergibt diese Multiplikation die entsprechenden Einheiten der inversen Quadratwurzel des Volumens. Das räumliche Profil der Wellenfunktion ist jedoch dasselbe, unabhängig davon, ob Sie diese Konstante einbeziehen oder nicht. Ich denke, das erklärt deine zweite Frage

Interpretation des Vorfaktors

Die dritte Sache, nach der Sie gefragt haben, ist die Bedeutung des Vorfaktors, der als lautet$1/\sqrt{t}$. Da der Anfangszustand eine Deltafunktion ist, ist der Impuls völlig unbestimmt. Das heißt, Sie können sich den Anfangszustand als Überlagerung aller Impulse vorstellen. Wenn sich der Zustand vom Anfangswert entwickelt, können Sie davon ausgehen, dass die Wellenfunktion eine Quantenüberlagerung des Teilchens ist, das sich mit jeder konstanten Geschwindigkeit vom Ursprung wegbewegt. Die Wellenfunktion stellt also eine gleichförmige Entwicklung dar. Wenn Sie eine gleichmäßige Ausdehnung einer festen Masse haben, erwarten Sie, dass die Dichte umgekehrt proportional zur Zeit ist. Da die Dichte umgekehrt proportional zur Zeit ist, muss die Wellenfunktion umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Zeit sein.

Dies ist eine Folge von$K(a,b)=\langle x_a,t_a|x_b,t_b\rangle$, die Sie zitieren, und die Anforderung$\displaystyle \int\!\text{d}x\,|x,t\rangle\langle x,t|=1$(was sich verallgemeinern lässt$\displaystyle \int\!\text{d}^dx\,|\vec x,t\rangle\langle\vec x,t|=1$In$d$räumliche Dimensionen). Im Prinzip könnte man die Zustände durch einen dimensionslosen „Skalierungsfaktor“ benennen, aber das ist nicht der Weg, den die Mehrheit der Physiker geht.

Der Hauptpunkt ist (wie Ref. 1 in Aufgabe 3.1 erwähnt), dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung (aus dem Pfadintegral kommend) nur relativ ist, dh ihre Normierung ist unphysikalisch über einen unbeschränkten Ortsraum$\mathbb{R}^d$. Siehe auch diesen und diesen verwandten Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

Verweise:

1. RP Feynman und AR Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, 1965, Problem 3.1.