Klassische Mechanik aus der Quantenmechanik

Question

Klassische Mechanik aus der Quantenmechanik

Adam

Ich suche nach einem Weg, um zu beweisen, dass man unter Ad-hoc-Annahmen die klassische Mechanik aus der Quantentheorie zurückgewinnen kann. Normalerweise können wir in Lehrbüchern finden, dass der Verbreiter

K (X, X_{0}; T) = ⟨ X | e^{- ich \hat{H} T / ℏ} | X_{0} ⟩

$K(x,x_0;t)=\langle x|e^{-i \hat H t/\hbar}|x_0\rangle$

ist im klassischen Limes durch die Wegintegralformulierung gegeben

K (X, X_{0}; T) \propto e^{ich S [Q_{C} (T)]}

$K(x,x_0;t)\propto e^{i S[q_c(t)]}$

Wo $S[q]$ ist die klassische Aktion und $q_c(t)$ ist der klassische Weg aus $x_0$ Zu $x$ in einer Zeit t (was minimiert $S$ ).

Aber das ist nicht sehr befriedigend, da $K$ ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, was wir in der klassischen Grenze wirklich nicht möchten. Das Mindeste, was wir erreichen möchten, ist die Wahrscheinlichkeit, dabei zu sein $x$ zum Zeitpunkt $t$ wird von gegeben

\begin{matrix} (1) & P_{T} (X) = δ (X - Q_{C} (T)) \end{matrix}

$P_t(x)=\delta(x-q_c(t)) \tag{1}$

oder etwas gleichwertiges. Mein naiver Ansatz zur Wiederherstellung dieses Ergebnisses wäre der folgende. Der Propagator reicht nicht aus, da die „Klassizität“ der Bewegung durch den Anfangszustand gegeben sein sollte. Es scheint natürlich, die anfängliche Wellenfunktion als ein Wellenpaket zu wählen, das um die anfängliche Position (von nun an bei x = 0) mit Spreizung gipfelt $\Delta x$ und mit Schwung $p$ , Zum Beispiel

ψ (X) = \frac{e^{- \frac{X^{2}}{2 Δ X^{2}} - ich P X / ℏ}}{π^{1 / 4} \sqrt{Δ X}}

$\psi(x)=\dfrac{e^{-\frac{x^2}{2\Delta x^2}-i p x/\hbar}}{\pi^{1/4}\sqrt{\Delta x}}$

Wir würden sagen, dass die Dynamik zumindest dann klassisch sein wird $\Delta p\propto \hbar/\Delta x \ll p$ . Es gibt vielleicht andere Einschränkungen, zum Beispiel, dass die Dynamik nur manchmal klassisch ist $t$ lang genug, aber das ist mir immer noch nicht klar.

Schließlich ist die klassische Wahrscheinlichkeit gegeben durch (oder zumindest proportional zu)

\begin{matrix} (2) & P_{T} (X) = | \int D X_{0} K (X, X_{0}; T) ψ (X_{0}) |^{2} \propto | \int D X_{0} e^{ich S [Q_{C} (T)]} ψ (X_{0}) |^{2} . \end{matrix}

$P_t(x)=|\int d x_0 K(x,x_0;t) \psi(x_0)|^2\propto |\int d x_0 e^{i S[q_c(t)]} \psi(x_0)|^2. \tag{2}$

Meine Frage ist: Gibt es eine Möglichkeit zu zeigen/zu beweisen, dass wir unter diesen Annahmen (1) aus (2) für jeden Hamiltonian erhalten können? Ich habe mir den einfachsten Fall eines freien Partikels angesehen, und es scheint zu funktionieren (ich habe immer noch einige Probleme, um das Endergebnis zu erhalten, aber ich habe das Gefühl, dass es funktioniert). Wenn es hilft, könnte ich die Berechnung später posten. Aber ein allgemeiner Beweis wäre toll.

anna v

Es könnte Sie interessieren, dies zu lesen motls.blogspot.com/2011/11/… Wo Lubos zeigt, wie man aus einem Ensemble von Photonen die klassische elektromagnetische Welle erhält.

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/17651/2451 , physical.stackexchange.com/q/32112/2451 , physical.stackexchange.com/q/56151/2451 und darin enthaltene Links.

Adam

@Qmechanic: Ich hatte diese Beiträge gelesen, aber ich glaube nicht, dass sie genau meine Frage beantworten, die allgemeiner formuliert werden kann (ohne Bezugnahme auf Pfadintegrale): Ist es möglich, das zu zeigen

| ψ (x, t) |

$|\psi(x,t)|$ ergibt a unter bestimmten Anfangsbedingungen eine Wahrscheinlichkeit der Form von Gleichung (1). Aber vielleicht kann ich diese Beiträge nutzen, um meine Frage zu beantworten.

Adam

@dj_mummy: Danke für den Hinweis, er ist nützlich, auch wenn er nicht direkt auf meine Bedenken eingeht (ich möchte nicht mit den Erwartungswerten arbeiten, sondern mit der Wellenfunktion und der Bornschen Regel).

Tobias Dietz

Ich glaube nicht, dass (1) für alle Zeiten gilt: Die Voraussetzung für eine semiklassische Behandlung ist im Wesentlichen, dass die Wirkung im Vergleich dazu klein ist

ℏ

$\hbar$ . Aber die Wirkung eines gegebenen Pfades hängt von dem Zeitintervall dieses Pfades ab und daher sollte man die Aufmerksamkeit auf die beschränken

t \to 0

$t \to 0$ Grenze. (Das klassische Bild ist länger unscharf). Übrigens, um den semiklassischen Ansatz mathematisch fundiert zu machen, ist die WKB-Approximation die bevorzugte Methode und nicht irgendwelche heuristischen Argumente mit Faymann-Pfadintegralen.

Antworten (1)

Klassische Mechanik aus der Quantenmechanik

Es könnte Sie interessieren, dies zu lesen motls.blogspot.com/2011/11/… Wo Lubos zeigt, wie man aus einem Ensemble von Photonen die klassische elektromagnetische Welle erhält.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/17651/2451 , physical.stackexchange.com/q/32112/2451 , physical.stackexchange.com/q/56151/2451 und darin enthaltene Links.
@Qmechanic: Ich hatte diese Beiträge gelesen, aber ich glaube nicht, dass sie genau meine Frage beantworten, die allgemeiner formuliert werden kann (ohne Bezugnahme auf Pfadintegrale): Ist es möglich, das zu zeigen $|\psi(x,t)|$ ergibt a unter bestimmten Anfangsbedingungen eine Wahrscheinlichkeit der Form von Gleichung (1). Aber vielleicht kann ich diese Beiträge nutzen, um meine Frage zu beantworten.
@dj_mummy: Danke für den Hinweis, er ist nützlich, auch wenn er nicht direkt auf meine Bedenken eingeht (ich möchte nicht mit den Erwartungswerten arbeiten, sondern mit der Wellenfunktion und der Bornschen Regel).
Ich glaube nicht, dass (1) für alle Zeiten gilt: Die Voraussetzung für eine semiklassische Behandlung ist im Wesentlichen, dass die Wirkung im Vergleich dazu klein ist $\hbar$ . Aber die Wirkung eines gegebenen Pfades hängt von dem Zeitintervall dieses Pfades ab und daher sollte man die Aufmerksamkeit auf die beschränken $t \to 0$ Grenze. (Das klassische Bild ist länger unscharf). Übrigens, um den semiklassischen Ansatz mathematisch fundiert zu machen, ist die WKB-Approximation die bevorzugte Methode und nicht irgendwelche heuristischen Argumente mit Faymann-Pfadintegralen.

QMechaniker · Answer 1

Die Frage, wie sich die Quantenmechanik im Grenzfall auf die klassische Mechanik reduziert $\hbar\to 0$ wurde schon mehrfach gefragt, siehe. zB this , this und this Phys.SE posts, und Links darin.

Ich lasse $\Delta t:=t_f-t_i$ Und $\Delta x:=x_f-x_i$ . Die entscheidende Tatsache ist nun, dass der Feynman- Propagator /kernel/amplitude $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ lokalisiert auf eine Delta-Funktion

\begin{matrix} (A) & K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) ⟶ δ (Δ X) für Δ T \to 0^{+} . \end{matrix}

$\tag{A} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0^{+}.$

Die Deltaverteilung (A) hat Unterstützung bei

\begin{matrix} (B) & X_{F} = X_{ich} . \end{matrix}

$\tag{B} x_f~=~x_i.$

Heuristisch, Gl. (A) folgt, weil für hinreichend kurze Zeiten $|\Delta t| \ll \tau$ , Wo $\tau$ ist eine charakteristische Zeitskala, das Potenzial $V$ hat (sozusagen) keine Zeit zu interagieren, und der kinetische Term explodiert, sodass die Gaußsche Formel für ein freies Teilchen verwendet werden kann.

II) Wenn kein Potential vorhanden ist $V$ im Modell, dh das Modell ist ein freies Teilchen, es genügt anzunehmen $\hbar|\Delta t| \ll I$ , um die Grenze (A) abzuleiten, wobei $I$ ist eine charakteristische Skala (mit einer Abmessung gleich einem Trägheitsmoment), so dass man in diesem Fall die Grenze berücksichtigen kann $\hbar\to 0$ ohne zu kurz zu gehen.

III) Allgemeiner kann man die semiklassischen WKB-Methoden anwenden. Im Fall eines harmonischen Oszillators wird die Amplitude

\begin{matrix} (C) & K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) ⟶ δ (\sqrt{(X_{F}^{2} + X_{ich}^{2}) C - 2 X_{F} X_{ich}}) = δ (\sqrt{(X_{F} - \frac{1 + S}{C} X_{ich}) (X_{F} - \frac{1 - S}{C} X_{ich}) C}) für ℏ \to 0^{+}, \end{matrix}

$\tag{C} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~\longrightarrow~\delta\left(\sqrt{(x_f^2+x_i^2) c-2x_fx_i }\right)~=~\delta\left(\sqrt{\left(x_f - \frac{1+s}{c}x_i\right)\left(x_f - \frac{1-s}{c}x_i\right)c }\right) \quad \text{for} \quad \hbar \to 0^{+},$

Wo $c:=\cos \omega \Delta t$ Und $s:=\sin \omega \Delta t$ . Die Deltaverteilung (C) hat Unterstützung bei

\begin{matrix} (D) & X_{F} = \frac{1 \pm S}{C} X_{ich} . \end{matrix}

$\tag{D} x_f=\frac{1 \pm s}{c}x_i.$

IV) Die Bedingung (B) für das freie Teilchen und (D) für den harmonischen Oszillator macht nur im kurzen Zeitlimit einen echten klassischen Sinn $|\Delta t| \ll \tau$ . Für große Zeiten $|\Delta t|$ , die klassischen Grenzwerte (B) und (D) sind ein Überbleibsel von Quantenmittelungsverfahren über viele Geschichten, die im Grenzwert nicht ganz klassisch sind $\hbar\to 0$ . Eine heuristische Interpretation ist möglicherweise eine Art klassischer Mischzustand.

V) Die Wahrscheinlichkeit

\begin{matrix} (E) & P (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) = | K (X_{F}, T_{F}; X_{ich}, T_{ich}) |^{2} \end{matrix}

$\tag{E} P(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~|K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2$

im Grenzwert (A) eines Quadrats der Dirac-Delta-Verteilung ist mathematisch schlecht definiert, vgl. zB diese und diese Phys.SE Beiträge. Zur Normalisierung des Feynman-Propagators und Interpretation als Wahrscheinlichkeit siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Klassische Mechanik aus der Quantenmechanik

Adam

anna v

QMechaniker

Adam

Adam

Tobias Dietz

Antworten (1)

QMechaniker

Klassische Grenze des Feynman-Pfadintegrals

Warum liefert der klassische Pfad den dominierenden Beitrag im Pfadintegral?

Wie kann ich sehen, dass sich Alltagssysteme klassisch verhalten (aus QFT-Pfadintegralen)?

Klassische Grenze in der Quantenmechanik

Klassischer/Quanten-Münzwurf

Teilchen in einer 1-D-Box und das Korrespondenzprinzip

Normalisieren von Propagatoren (Pfadintegrale)

Feynmans Ableitung der Schrödinger-Gleichung

Quantenversion des Galton Boards

Energiequantisierung im Wegintegral und im Fourier-Spektrum der Aktion