Klassische Grenze des Feynman-Pfadintegrals

Ich verstehe das in der Grenze davon ℏ gegen Null geht, wird das Feynman-Pfadintegral vom klassischen Pfad dominiert, und dann können wir unter Verwendung der Näherung der stationären Phase eine Näherung für den Propagator ableiten, der eine Funktion der klassischen Trajektorie ist (siehe http://www.blau.itp. unibe.ch/lecturesPI.pdf S. 46).

Ich habe den Eindruck, dass dies weiter impliziert, dass das Teilchen der klassischen Flugbahn folgt, aber ich verstehe nicht, wie die oben erwähnte Tatsache dies impliziert.

Der Propagator beschreibt die Zeitentwicklung der Wellenfunktion, daher würde ich denken, dass diese klassische Grenzform des Propagators eine Zeitentwicklung ergeben sollte, bei der die Wellenfunktion der klassischen Flugbahn folgt, aber ich konnte keine solche Arbeit finden. Zudem ist schon diese Aussage selbst problematisch, da die Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt und keine einzelne Trajektorie.

Neue Bearbeitung: In Abschnitt 7 von Feynmans Artikel, der das Pfadintegral vorstellt (siehe http://imotiro.org/repositorio/howto/artigoshistoricosordemcronologica/1948c%20-FEYNMAN%201948C%20Invention%20of%20the%20path%20integral%20formalism%20for%20quantum% 20mechanics.pdf ) diskutiert er den klassischen Grenzwert. Es scheint, dass der Schlüssel zum Verständnis, warum die Tatsache, dass der klassische Pfad das Pfadintegral dominiert, weiter impliziert, dass das Teilchen der klassischen Flugbahn folgt, in Feynmans Bemerkung auf Seite 21 zu finden ist: „Jetzt fragen wir, als ℏ → 0 welche Werte der Zwischenkoordinaten X ich am stärksten zum Integral beitragen? Dies werden die Werte sein, die am wahrscheinlichsten durch Experimente gefunden werden, und sie werden daher im Grenzfall den klassischen Weg bestimmen." Ich verstehe jedoch nicht, warum "diese Werte die Werte sein werden, die am wahrscheinlichsten durch Experimente gefunden werden"?

Feynman bedeutet einfach, dass die Koordinaten X ich die am stärksten zum Integral beitragen, werden diejenigen mit der höchsten Wahrscheinlichkeit sein, wenn man nach der Position des Teilchens in irgendeiner Zwischenzeit fragt.
Cross-Posting von mathoverflow.net/q/102415

Antworten (2)

Die semiklassische Grenze, die Sie beschreiben, besagt, dass die Amplitude für ein Teilchen, um in einer festgelegten Zeit von hier nach dort zu gelangen, gleich dem Exponential der klassischen Aktion für die entsprechende klassische Flugbahn ist. In Symbolen lautet dies

⟨ X B | U ( T ) | X A ⟩ = ∫ D φ e ich S [ ϕ ] / ℏ ≈ e ich S [ φ Kl ( X A , X B , T ) ] / ℏ .
In einem allgemeinen Quantenzustand sind Teilchen jedoch nicht "hier" und landen nicht "dort": Sie haben eine anfängliche Wahrscheinlichkeitsamplitude ⟨ X | ψ ( 0 ) ⟩ für die Anwesenheit auf jeder Position X zum Zeitpunkt T = 0 und wird eine endgültige Wahrscheinlichkeitsamplitude haben ⟨ X | ψ ( T ) ⟩ dafür, in Position zu sein X zum Zeitpunkt T . Um die Annäherung anzuwenden, ziehen Sie den Propagator heraus und fügen eine Auflösung der Identität ein:
⟨ X | ψ ( T ) ⟩ = ∫ D j ⟨ X | U ( T ) | j ⟩ ⟨ j | ψ ( 0 ) ⟩ = ∫ D j e ich S [ φ Kl ( j , X , T ) ] / ℏ ⟨ j | ψ ( 0 ) ⟩ .

Um ein vollständiges semiklassisches Limit zu erhalten, benötigen Sie auch einen semiklassischen Anfangszustand (da Sie sonst offensichtlich keine Hoffnung haben!). Sie nehmen dann einen Zustand mit (relativ) scharf definierter Position und Impuls (natürlich wird der Zustand einen endlichen Bereich des Phasenraums einnehmen, aber Sie können unter diesen Umständen normalerweise davon ausgehen, dass er klein genug ist), und dies wird der Fall sein lassen die Amplituden für Punkte außerhalb der klassischen Trajektorie destruktiv interferieren und verschwinden.

BEARBEITEN

Wie passiert das? Für eine, j muss in der Nähe der Ausgangsposition sein, j 0 um zum Integral beizutragen. Für kleine Verschiebungen der Endpunkte ändert sich also die Wirkung entlang der klassischen Trajektorie

δ S = P φ , X δ X − P φ , j δ j
(vgl. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, 4. Auflage, Dover, Gl. 53.3 und 68.1, oder führen Sie einfach die Standardintegration nach Teilen und Menge durch ∫ δ L D X = 0 entlang der klassischen Bahn). Der Hauptbeitrag des Anfangszustands zur Phase ist die Form e ich P Kl j , was bedeutet, dass das Integral bis auf eine Phase mehr oder weniger die Form hat,
⟨ X | ψ ( T ) ⟩ ≈ ∫ j 0 − Δ X / 2 j 0 + Δ X / 2 e ich ( P φ , j − P Kl ) j / ℏ D j .

Hier der Schwung P φ , j wird bestimmt durch X und (in führender Reihenfolge) j 0 , da es einen einzigartigen klassischen Weg gibt, der sie verbindet. Dieser Impuls muss übereinstimmen (auf Präzision Δ P ≈ ℏ / Δ X , den wir in diesem semiklassischen Limes vernachlässigbar annehmen) der klassische Impuls des Anfangszustands, P Kl , also nur diese X auf der Trajektorie, die durch den Anfangszustand bestimmt wird, haben Amplituden ungleich Null.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich verstehe nicht, warum "dadurch die Amplituden für Punkte außerhalb der klassischen Flugbahn destruktiv interferieren und verschwinden". Könnten Sie das bitte erklären. Bitte beachten Sie auch meine neue Bearbeitung der Frage. Danke schön.
Vielen Dank für Ihre Antwort. Es gibt ein paar Dinge, die ich näher erläutern könnte, um Ihre Antwort besser zu verstehen. Anstatt auf detaillierte Fragen einzugehen, habe ich mich gefragt, ob Sie ein Lehrbuch oder eine Abhandlung kennen, die Ihre Argumentation behandelt. Danke schön.
Ich kenne keine wirklichen Referenzen mit diesem Material, aber ich würde sehr gerne eine sehen. Ich bin Ihnen auch ziemlich dankbar, dass Sie mich dazu gezwungen haben, dies klar herauszuarbeiten.

Es ist im Allgemeinen NICHT wahr , dass die semiklassische Grenze immer von stationären Lösungen des ursprünglichen bloßen Lagrange dominiert wird. Stattdessen sieht die beste quasiklassische Grenze eher aus wie das grobkörnige konsistente Historien-Framework, auch bekannt als dekohärente Historien entlang der dynamisch bestimmten Zeigerbasis.

Klassische Grenze des Feynman-Pfadintegrals
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v