Energiequantisierung im Wegintegral und im Fourier-Spektrum der Aktion

Ich habe zu dieser Frage ein Kopfgeld angeboten , um auf einfache Weise zu sehen, dass das Feynman-Pfadintegral in der eindimensionalen Quantenmechanik diskrete Energieniveaus für gebundene Zustände liefert. Wie dort gezeigt, gibt es theoretisch eine einfache Erklärung. Das Pfadintegral berechnet den Propagator durch

$$K(x_i, x_f, t) \equiv \langle x_f | e^{- i H t} | x_i \rangle = \int_{x(0) = x_i, x(t) = x_f} \mathcal{D}x(t)\, e^{iS[x(t)]/\hbar}.$$ Andererseits ist das Pfadintegral bei Anwendung einer semiklassischen Näherung gerecht $$K(x_i, x_f, t) \sim \bigg| \frac{\partial^2 S_0(x_i, x_f, t)}{\partial x_i \partial x_f}\bigg|\, e^{i S_0(x_i, x_f, t)/\hbar}$$ Wo $S_0$ist die On-Shell-Aktion, also die Aktion, für die der klassische Weg ausgeht $x_i$Zu $x_f$rechtzeitig $t$, wo ich Fragen über die Existenz und Einzigartigkeit eines solchen Pfades ignoriere. Dies ist absolut sinnvoll, da wir in der semiklassischen Näherung nur um diesen klassischen Pfad erweitern und das Pfadintegral nur den zusätzlichen Faktor im Vordergrund liefert, der widerspiegelt, wie stark die nahe gelegenen Pfade im Pfadintegral den klassischen verstärken oder unterdrücken.

Auf der anderen Seite haben wir, wenn wir in der Energie-Eigenbasis arbeiten

$$K(x_i, x_f, t) = \sum_{n,m} \langle x_f | n \rangle \langle n| \ e^{-iHt} |m \rangle \langle m | x_i \rangle = \sum_n \langle x_f | n \rangle \langle n | x_i \rangle e^{-i E_n t/\hbar}$$ Wir erhalten also diskrete Energie, wenn die Fourier-Transformation von $K(x_i, x_f, t)$in time hat eine diskrete Unterstützung, was äquivalent zu dem ist, was für gilt $S_0(x_i, x_f, t)$. Das heißt, wir können die Energiediskretisierung direkt an der klassischen Wirkung ablesen. In der Tat gilt für den harmonischen Oszillator $S_0(t)$ist eine periodische Funktion, die die Tatsache widerspiegelt, dass die Quantenenergieniveaus gleichmäßig beabstandet sind.

Mein Problem ist, dass ich nicht sehen kann, wie dies für ein allgemeines Potenzial gut funktioniert. Ich habe es mit Rechnen versucht$S_0(t)$für Situationen neben dem harmonischen Oszillator, und es scheint überhaupt kein diskretes Spektrum zu haben. Gibt es eine direkte Möglichkeit, dieses Ergebnis zu sehen, wenn es wahr ist?