Feynmans Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik basiert auf den folgenden zwei Postulaten:
Wenn eine ideale Messung durchgeführt wird, um zu bestimmen, ob ein Teilchen einen Pfad hat, der in einem Bereich der Raumzeit liegt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis positiv ist, das absolute Quadrat einer Summe komplexer Beiträge, einer von jedem Pfad in dem Bereich.
Die Pfade tragen in gleicher Größe bei, aber die Phase ihres Beitrags ist die klassische Aktion, dh das Zeitintegral der Lagrange-Funktion entlang des Pfads.
Angenommen, diese Postulate sind so natürlich wie möglich, dh sie sind keine destillierte Version von etwas Elementarerem. Wenn dies der Fall ist, wie kann man dann in Laiensprache erklären, wie die diskreten Energieniveaus in zB dem harmonischen Oszillator aus diesen beiden Postulaten entstehen? Gibt es qualitative Antworten?
Ich bin mir nicht sicher, was Sie für qualitative Beispiele in "Laienbegriffen" erwarten. Die Zeitentwicklungsamplitude von einem Punkt zum anderen,
Konkret beläuft sich die klassische Aktion für den Oszillator aus der obigen WP-Referenz auf
Der Propagator, also die obige Amplitude, kann aus dem Funktionsintegral als ausgewertet werden
Dieser Ausdruck entspricht auch dem herkömmlichen Hilbert-Raumpropagator in Bezug auf Hermite-Funktionen,
Schreiben Sie dies um als
Die Fourier-Moden von R(T) , die dann diesen 0-Punkt-Energie-Vorfaktor multiplizieren, können mit der Standard-Hilbert-Raum-Eigenzustandserweiterung der Auflösung verglichen werden, um Sie vom standardmäßigen quantisierten Spektrum des Quantenoszillators zu überzeugen.
Hier brauchen Sie angesichts der Diskretion nur die wesentliche Periodizität des Systems zu schätzen, die Kompaktheit, die Sie zu einer harmonischen Struktur zwingt: die Welligkeit des Systems; und dass das meiste davon auf die klassische Aktion in diesem (etwas außergewöhnlichen) quadratischen hamiltonschen Paradigma zurückführbar ist.
In ihrem elementaren Lehrbuch arbeiten Feynman und Hibbs es gut in Probs 2-2, 3-8, (Eqns 2-9,3-59) und "Spike" in Eqns (8-12), (8-13) aus. (Sie gehen sogar lächerlich weiter und versuchen, Sie "sehen" zu lassen, wie sich der Mehler-Kern in Hermite-Polynome dekonstruiert, und gehen meiner Meinung nach zu weit mit Anfragen Ihrer Art.) In jedem Fall ist es weniger obskur, der einfachen Mathematik zu folgen als es in "Code"-Worten zusammenzufassen.
Da dies eine konzeptionelle Frage ist, bedarf es vielleicht einer einfachen, konzeptionellen Antwort:
Feynmans Pfadintegral kann als Integral von dargestellt werden über alle möglichen Wege. Beachten Sie das im Exponenten, was den Integranden dazu zwingt, in Bezug auf den Wert von S (der reell ist) periodisch zu sein. Das Setzen der Variation des Integrals gleich Null wählt diskrete Sätze von Pfaden aus. Das ist meiner Meinung nach der einfachste Weg, um die Diskretion der Energiezustände im Oszillator (dessen Energie eng mit S verbunden ist) zu verstehen.
Durch Symmetrie
John Rennie
QMechaniker
Knzhou
Stéphane Rollandin