Weg Integral analog für diskrete Systeme

Wie lautet das Analogon zur Pfadintegralformulierung für ein diskretes System? B. Kette typischer 2-Niveau-Exzitonensysteme:

H = ∑ k σ k + σ k − + ∑ k < l ( σ k + σ l − + σ k − σ l + ) .
Irgendwelche Verbindungen zu Zufalls- oder Quantenwanderungen?

Ich habe keine Zeit, eine vollständige Antwort zu schreiben, aber ich kann sagen, dass es vom System abhängt. Es gibt tatsächlich eine Wegintegral-Beschreibung von Spin-, Bosonen- und Fermion-Freiheitsgraden, die auf dem Gitter oder im Kontinuum liegen können.
Darüber hinaus gibt es mehrere unterschiedliche Formulierungen des Pfadintegrals. Eine übliche Methode wird als kohärentes Zustandspfadintegral bezeichnet. Eine andere Methode ist die sogenannte Hubbard-Stratonovich-Transformation.
Ist es nicht nur die Term-für-Term-Erweiterung von e ich T H ?
Das geschieht in der Gitterfeldtheorie.

Antworten (2)

Ich kann mir ein paar Versionen des diskreten Pfadintegrals vorstellen.

Einer ist zu nehmen exp ⁡ ( ich T H ) und erweitern Sie es auftragsweise in T . Sie können eine große Anzahl von Matrixprodukten erstellen, und indem Sie eine Auflösung der Identität zwischen jedem dieser Matrixprodukte einfügen, erhalten Sie eine Summe über etwas, das Sie sich als diskrete Pfade vorstellen können, die um einen Basissatz des Hilbert-Raums herumhüpfen.

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass wir versuchen, uns anzunähern exp ⁡ ( ich T H ) durch einen Quantenschaltkreis mit endlicher Tiefe und nehmen Sie dann die Grenze, wenn die Tiefe ins Unendliche geht.

Eine kovariantere Version all dessen besteht darin, mit Tensornetzwerken statt mit Schaltkreisen zu arbeiten (es gibt eine direkte Transformation von letzterem zu ersterem). Dann beginnt die Auswertung des Tensornetzwerks wie ein Stat-Mech-Modell in einer höheren Dimension auszusehen. Wenn die Tensoren ein Erhaltungsgesetz haben, treten diskrete Random Walks auf.

All dies ist in TQFT- und integrierbaren Stat-Mech-Modellen ziemlich bekannt, aber ich kenne keine Referenzen, die versuchen, dies ernsthaft für einige einfache Spin-Modelle zu tun, wie Sie vorschlagen.

Im Lehrbuch von Atland-Simons gibt es einen Abschnitt, der ein Pfadintegral verwendet, um ein Spinsystem mit dem folgenden einfachen Hamilton-Operator zu behandeln

H = − σ z
in jeder Darstellung von SU(2). Die Behandlung ähnelt sehr stark einer Babyversion der oben erwähnten kohärenten Zustandsbehandlung. Ich glaube, dass für kompliziertere Systeme eine ähnliche kohärente Zustandsbehandlung möglich ist, aber ich hoffe auch, dass einige Experten darauf näher eingehen werden.

Danke! Das habe ich in den letzten Tagen auch festgestellt. Außerdem hat jemand das Heisenberg-Modell ernsthaft implementiert. ( arxiv.org/pdf/1211.4509.pdf )
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